Gym101635C Macarons

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题目大意：

　　给出一个 \(N \times M\) 的网格图，请你用 \(1 \times 1\) 和 \(1 \times 2\) 两种纸片填满该图，问有几种方案。

知识点：　　矩阵快速幂、DFS

解题思路：

　　做这道题如果没有思路的话，建议先看看 \(Matrix67\) 的这篇文章。这道题就是其中的经典题目九的变形。

　　由于列数很少，所以我们可以利用列与列之间的状态转移。

　　设矩阵 \(Mat[state1][state2]\)，其代表填满当前列（当前列的初始状态为\(state1\)）并且使得下一列状态为 \(state2\) 的方案数（每一列的状态无非就是这一列哪些格子已经被填，哪些还没被填，我们可以用一个二进制数来表示状态）。

　　如此一来，我们就可以先用 \(dfs\) 来求出从第一列的各种状态转移到第二列的各种状态的方案数，然后求出 \(Mat\) 的 \(M\) 次幂 \(ans\) ，答案即为 \(ans[0][0]\).

AC代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const ll mod=1e9;
 struct Matrix {
     int mat[][];
 };
 Matrix Multiply(Matrix x, Matrix y, int n) {
     Matrix temp;
     memset(temp.mat, , sizeof(temp.mat));
     for (int i = ; i < n; i++) {
         for (int j = ; j < n; j++) {
             for (int k = ; k < n; k++) {
                 ll tmp=(ll)x.mat[i][k] * y.mat[k][j]%mod;
                 temp.mat[i][j] = (int)(((ll)temp.mat[i][j]+tmp)%mod);
             }
         }
     }
     return temp;
 }
 Matrix Fast_Power(Matrix a, ll m, int n) {
     Matrix res;
     memset(res.mat, , sizeof(res.mat));
     for (int i = ; i < n; i++)    res.mat[i][i] = ;

     while (m) {
         if (m & )    res = Multiply(res, a, n);
         m >>= ;
         a = Multiply(a, a, n);
     }
     return res;
 }

 Matrix ans;
 void dfs(int org,int now,int nex,int n){
     int one[],two[];
     memset(one,,sizeof(one));
     memset(two,,sizeof(two));
     int tnex=nex,tnow=now;
     int ind=;
     while(now){
         one[ind]=now%;
         now>>=;
         ind++;
     }
     bool flag=true;
     for(int i=;i<n;i++){
         if(one[i]!=){
             flag=false;
             break;
         }
     }

     if(flag){
         ans.mat[org][tnex]++;
         return;
     }
     ind=;
     while(nex){
         two[ind]=nex%;
         nex>>=;
         ind++;
     }

     for(int i=;i<n;i++){
         if(one[i]==){
             dfs(org,tnow+(<<i),tnex,n);
             dfs(org,tnow+(<<i),tnex|(<<i),n);
             if(i+<n&&one[i+]==){
                 dfs(org,tnow+(<<i)+(<<(i+)),tnex,n);
             }//为了避免重复，我们不在下一列放置 2*1 的纸片
             break;
         }
     }
 }
 int main(){
   //  freopen("in.txt","r",stdin);
     int N;
     ll M;
     scanf("%d%lld",&N,&M);
     for(int i=;i<(<<N);i++)
         dfs(i,i,,N);
     ans=Fast_Power(ans,M,(<<N));
     printf("%d\n",ans.mat[][]);
     return ;
 }