[算法]Miller-Robbin素数判定

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目录

• 一、实现原理
• 二、应用
  • 判断一个正整数是否为素数
• 三、小结

一、实现原理

我们以前都是怎么判断素数的呢：

试除法： 若一个正整数N为合数，则存在一个能整除N的数k，其中\(2\leqslant k \leqslant \sqrt N\)。

具体实施如下：

inline int is_prime(int n){
    if(n<2) return 0;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0) return 0;
    }
    return 1;
}

这种方法的时间复杂度为\(O(\sqrt n)\)。

现在，我们希望更快地判断一个数是否为素数。

我们可以借助费马小定理来判断：

如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有

\[a^{p-1}\equiv 1\pmod p
\]

Miller-Robbin素数判定就是基于上述定理实现的，如果我们随机枚举一个\(a\)，且\(a\)满足费马小定理，那么\(p\)就是素数。所以Miller-Robbin素数判定是一种随机性算法。

需要注意的是，我们这样判断素数的方法实际上利用的是费马小定理的逆定理。不幸的是，费马小定理的逆定理并不是一个真命题。

• 存在\(a=2，p=341\)时满足费马小定理，而\(341=11*31\)却是合数

我们把像341这样的数称作伪素数。实际上，伪素数有无穷多组。

这意味着一次判断不足以保证我们的程序正确。当然，解决这个问题也十分简单。

我们只需要重复操作大约30次，便能将正确率提升到我们期待的水平。

另外，我们使用快速幂来计算\(a^{p-1}\)。总复杂度为\(O(logn)\)。

下面给出Miller-Robbin素数判定的模板：

int qpow(int a,int b,int mod){//快速幂
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=(res%mod*a)%mod;
        a=(a%mod)*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
bool query_prime(int x){
    if(x==2)return true;
    if(x==1)return false;
    for(int i=1;i<=30;i++){
        int base=rand()%(x-1)+1;//随机枚举a
        if(qpow(base,x-1,x)!=1) return false;//计算a^(p-1)%p的值
    }
    return true;
}

二、应用

判断一个正整数是否为素数

模板题：AT807 素数、コンテスト、素数

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int qpow(int a,int b,int mod){//快速幂
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=(res%mod*a)%mod;
		b>>=1;
		a=(a%mod)*a%mod;
	}
	return res;
}
inline int miller_robbin(int num){//核心代码
	for(int i=1;i<=30;i++){
		int base=rand()%(num-1)+1;
		if(qpow(base,num-1,num)!=1) return 0;
	}
	return 1;
}
signed main(){
	int num;
	scanf("%d",&num);
	if(num==1){
		printf("NO");
		return 0;
	}
	miller_robbin(num)?printf("YES\n"):printf("NO\n");
	return 0;
}

附赠一道水题：(主要是练习素数判定)

AT1476 素数判定

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll qpow(ll a,ll b,ll mod){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=(res%mod*a)%mod;
        a=(a%mod)*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
bool query_prime(ll x)
{
    if(x==2)return true;
    if(x==1)return false;
    for(int i=1;i<=30;i++){
        ll base=rand()%(x-1)+1;
        if(qpow(base,x-1,x)!=1)return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
	srand(time(NULL));
	ll num;
	scanf("%lld",&num);
    if(query_prime(num)||(num%2!=0&&num%3!=0&&num%5!=0&&num!=1))printf("Prime\n");
    else printf("Not Prime\n");
	return 0;
}

三、小结

使用Miller-Robbin素数判定，我们可以将复杂度降低至\(O(logn)\)级别(常数阶可以被忽略)。这样比原来的方法会快很多。

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