LGOJ3327 【SDOI2015】约数个数和

又是一道卡常好题

坑掉我的 \(define \space int \space long \space long\) 感觉出题人并没有获得什么快乐……

Description

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题意概述：

设 \(d(x)\) 为 \(x\) 的约数个数，求：

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n d(ij)
\]

多组询问，\(1\leq n,m,T \leq 5 \times10^4\)

Solution

首先给一个引理：

\[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j} [gcd(x,y)=1]
\]

证明：参考\(@Siyuan\)的博客，好像可以用映射法？

\[Begin
\]

我们把式子转化一下：

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{x|i}\sum_{y|j} [gcd(x,y)=1]
\]

（四个\(\sum\)好恐怖？）

然后改变求和的次序，首先枚举因数 \(x\) 和 \(y\) ：

（这一步转化可以考虑用\(1\)到\(a\)中\(b\)的倍数个数来理解）

\[\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^n \lfloor \frac{n}{x}\rfloor \lfloor \frac{m}{y} \rfloor[gcd(x,y)=1]
\]

换一下，我们把这个 \(x\) 和 \(y\) 换成 \(i\) 和 \(j\)

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{j} \rfloor[gcd(i,j)=1]
\]

下一步开始反演，根据套路式，设：

\[f(x)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{j} \rfloor[gcd(i,j)=1]
\]

\[g(x)=\sum_{x|d} f(d)
\]

所以得到关于 \(g(x)\) 的表达式：

\[g(x)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{j} \rfloor[x|gcd(i,j)]
\]

把 \(x\) 提出来，同时去掉 \(gcd\)

\[g(x)=\sum_{i=1}^{\frac{n}{x}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{x}} \lfloor \frac{n}{ix} \rfloor \lfloor \frac{m}{jx} \rfloor
\]

再根据\(f(x)\)的定义,得到答案为\(f(1)\)

又有：

\[f(x)=\sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n}) g(d)
\]

所以有

\[Ans=\sum_{i=1}^n \mu(i)g(i)
\]

我们预处理\(s(x)=\sum^{x}_ {i=1} \lfloor \frac{x}{i}\rfloor\)然后就可以快速求解本题

\[Finished
\]

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define reg register
namespace yspm{
	inline int read()
	{
		int res=0,f=1; char k;
		while(!isdigit(k=getchar())) if(k=='-') f=-1;
		while(isdigit(k)) res=res*10+k-'0',k=getchar();
		return res*f;
	}
	const int N=5e4+10;
	int tot,mu[N],pri[N];ll s[N];
	bool fl[N];
	inline void prework()
	{
		mu[1]=1;
		for(reg int i=2;i<N;++i)
		{
			if(!fl[i]) mu[i]=-1,pri[++tot]=i;
			for(reg int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<N;++j)
			{
				fl[i*pri[j]]=1;
				if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0; break;}
				else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			}
		} for(reg int i=1;i<N;++i) mu[i]+=mu[i-1];
		for(reg int x=1;x<N;++x)
		{
			ll res=0;
			for(reg int l=1,r;l<=x;l=r+1){r=x/(x/l); res+=1ll*(r-l+1)*(x/l);}
			s[x]=res;
		}
		return ;
	}
	inline void work()
	{
		int n=read(),m=read(); if(n>m) swap(n,m);
		ll ans=0; for(reg int l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l)); ans+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*s[n/l]*s[m/l];}
		return printf("%lld\n",ans),void();
	}
	signed main()
	{
		prework(); int T=read(); while(T--) work();
		return 0;
	}
}
signed main(){return yspm::main();}