P1131 [ZJOI2007]时态同步【树形dp】

时态同步

从叶子到根节点统计修改次数。树形\(dp\)思想。

题目描述

小\(Q\)在电子工艺实习课上学习焊接电路板。一块电路板由若干个元件组成，我们不妨称之为节点，并将其用数字\(1,2,3…\).进行标号。电路板的各个节点由若干不相交的导线相连接，且对于电路板的任何两个节点，都存在且仅存在一条通路（通路指连接两个元件的导线序列）。

在电路板上存在一个特殊的元件称为“激发器”。当激发器工作后，产生一个激励电流，通过导线传向每一个它所连接的节点。而中间节点接收到激励电流后，得到信息，并将该激励电流传向与它连接并且尚未接收到激励电流的节点。最终，激烈电流将到达一些“终止节点”――接收激励电流之后不再转发的节点。

激励电流在导线上的传播是需要花费时间的，对于每条边\(e\)，激励电流通过它需要的时间为\(t_e\)，而节点接收到激励电流后的转发可以认为是在瞬间完成的。现在这块电路板要求每一个“终止节点”同时得到激励电路――即保持时态同步。由于当前的构造并不符合时态同步的要求，故需要通过改变连接线的构造。目前小\(Q\)有一个道具，使用一次该道具，可以使得激励电流通过某条连接导线的时间增加一个单位。请问小\(Q\)最少使用多少次道具才可使得所有的“终止节点”时态同步？

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数\(N\)，表示电路板中节点的个数。

第二行包含一个整数\(S\)，为该电路板的激发器的编号。

接下来\(N-1\)行，每行三个整数\(a , b , t\)。表示该条导线连接节点\(a\)与节点\(b\)，且激励电流通过这条导线需要\(t\)个单位时间。

输出格式：

仅包含一个整数\(V\)，为小\(Q\)最少使用的道具次数。

输入输出样例

输入样例#1：

3

1

1 2 1

1 3 3

输出样例#1：

2

说明

对于\(40\%\)的数据，\(N ≤ 1000\)

对于\(100\%\)的数据，\(N ≤ 500000\)

对于所有的数据，\(t_e ≤ 1000000\)

分析

看到题意，显然的一道树形\(dp\)题，因为有节点，根（也就是激发器），边数也正好是一棵树。所以考虑树形动规。题目中问的是最小的修改树，所以\(dp[i]\)数组开一维记录以\(i\)为根时的最大时间，然后进行树形\(dp\)，首先一个边的循环递归，找出每个节点的最大时间，再进行一次循环，每一次\(ans\)加上当前节点的最大时间减去子节点加上边权，最后得出答案即可。（温馨提示，不开long long悔终身哦）状态转移就是：

\[dp[u] = max(dp[u],dp[v]+e[i].val)\\
ans+=dp[u]-dp[v]-e[i].val\]

其中\(u\)为目前的根节点，\(v\)为子节点,\(e[i].val\)为边权。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 5e5+10;
ll ans;
struct node{
	ll v,next;
	ll w;
}e[maxn<<1];
ll tot;
ll dp[maxn];
ll n,root;
ll head[maxn];
void Add(ll x,ll y,ll val){
	e[++tot].v = y;
	e[tot].next = head[x];
	head[x] = tot;
	e[tot].w = val;
}

void dfs(ll u,ll fa){
	for(ll i=head[u];i;i=e[i].next){//枚举边
		ll v = e[i].v;
		if(v != fa){//子节点不能是父节点，显然
			dfs(v,u);//递归搜索
			dp[u] = max(dp[u],dp[v]+e[i].w);//找出每个节点的最大时间
		}
	}
	for(ll i=head[u];i;i=e[i].next){
		ll v = e[i].v;
		if(v != fa)//同上
		ans+=dp[u]-dp[v]-e[i].w;//当前节点最大时间减去子节点最大时间加边权。
	}
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);//优化cin/cout效率，但是优化后不能用scanf和printf
	cin>>n>>root;
	for(int i=1;i<n;++i){
		ll x,y,val;
		cin>>x>>y>>val;//建双向边
		Add(x,y,val);
		Add(y,x,val);
	}
	dfs(root,root);//从根节点开始动规
	cout<<ans<<endl;//输出答案
}