P5020 货币系统 题解

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简要题意：

求一个长度最小的货币系统与给出的货币系统等价。求这个货币系统的长度。等价的定义详见题目，不再赘述。

本文可能用到一些集合论，请放心食用。

算法一

\(n=2\) 时，只需判断两个数的倍数关系。有倍数关系则答案为 \(1\)，否则为 \(2\).

时间复杂度：\(O(T \times n)\).

实际得分：\(15pts\).

算法二

\(n=3\) 时，首先，如果两个数都是另一个数的倍数，那么答案为 \(1\).

否则，如果仍存在倍数关系，则答案为 \(2\).

其余的情况，只需要考虑，最小的数和次小的数能否表示出最大的数。

能则为 \(2\)，否则为 \(3\).

这里有很多种方法判断。比如：

1. 暴力，用桶直接来，\(O(\max a_i)\).

2. 考虑解方程，用 \(\texttt{exgcd}\) 写，\(O(\log \max a_i)\).

总之，时间复杂度为 \(O(T \times n \times (\max a_i))\). （无需优化，因为没有必要）

实际得分：\(30pts\).

算法三

首先，假设给出 \(S\)，答案为 \(T\). 则必有：

\[T \in S
\]

下面来证明这个结论。

如果 \(T \not \in S\)，则考虑取出 \(x = \min (i \in S)\)，\(y = \min(i \in T)\).

如果 \(x<y\)，则 \(x\) 无法被表示。

如果 \(y>x\)，则 \(y\) 无法被表示。

如果 \(x=y\)，那么不断递归下去，得证。

所以，我们只需要在给出的货币系统中寻找答案即可。

这里我们枚举选的答案，然后一一验证。

时间复杂度：\(O(2^n \times n \times (\max a_i) \times T)\)，可以通过。

实际得分：\(65pts\).

算法四

注： \(n = 25\)，本人没有想到什么可以 \(O(2^n \times T)\) 过掉的算法，因此这一档部分分可能是用来给选手瞎搞的。？？？

你发现不需要一一枚举。首先你排序一下。

你只要用当前已有的数，判断当前正在决策的这个数能否被表示出。

能，那么说明这个数没有必要，把它抛弃。

否则，肯定要选。只是因为，\(>\) 它的数表示不出，而 \(<\) 也表示不出，只有它自己能表示自己，所以必须选。

那么，这样我们可以唯一确定一个数是否被选。（排序后从小到大选）

如何判断？

我们发现，每次新加入一个数 \(x\) ，我们需要维护能判断出的桶。

此时，可以在原有的桶上，对每个能表示出的数 \(k\)，把 \(k+x , k+2x,k+3x \cdots k+ \infty x\) 全部标为可以判断。这是显然的。

至于 \(\infty\) 的上限，只要标到 \(\max a_i\) 即可，因为后面的数没有用了。

时间复杂度：\(O(n \times T \times (\max a_i))\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5e4+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int T,n,a[N];
int cnt=0;
int maxi; bool h[N];

int main(){
	T=read(); while(T--) {
		n=read(); maxi=0; cnt=0;
		memset(h,0,sizeof(h)); //初始化
		for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),maxi=max(maxi,a[i]);
		sort(a+1,a+1+n); //排序
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(!h[a[i]]) { //不能被表示
				h[a[i]]=1; cnt++;
				for(int j=1;j<=maxi;j++)
					if(h[j]) {
						for(int k=a[i];j+k<=maxi;k+=a[i])
							h[j+k]=1;
					} //维护能被表示的桶
			} printf("%d\n",cnt);
	}
	return 0;
}