Loj #2542. 「PKUWC2018」随机游走

题目描述

给定一棵 $n$ 个结点的树，你从点 $x$ 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。

有 $Q$ 次询问，每次询问给定一个集合 $S$，求如果从 $x$ 出发一直随机游走，直到点集 $S$ 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。

特别地，点 $x$（即起点）视为一开始就被经过了一次。

答案对 $998244353 $ 取模。

输入格式

第一行三个正整数 $n,Q,x$。

接下来 $n-1$ 行，每行两个正整数 $(u,v)$ 描述一条树边。

接下来 $Q$ 行，每行第一个数 $k$ 表示集合大小，接下来 $k$ 个互不相同的数表示集合 $S$。

输出格式

输出 $Q$ 行，每行一个非负整数表示答案。

数据范围与提示

对于 $20\%$ 的数据，有 $1\leq n,Q\leq 5$。

另有 $10\%$ 的数据，满足给定的树是一条链。

另有 $10\%$ 的数据，满足对于所有询问有 $k=1$。

另有 $30\%$ 的数据，满足 $1\leq n\leq 10 ,Q=1$。

对于 $100\%$ 的数据，有 $1\leq n\leq 18$，$1\leq Q\leq 5000$，$1\leq k\leq n$。

Orz

首先根据$\min-\max$ 反演我们知道：

\[\max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T)
\]

设$f_{v,S}$表示从$v$出发，经过$S$中至少一个节点的期望步数。

如果$v\in S$，$f_{v,S}=0$，否则：

\[f_v=1+\frac{1}{d_v}f_{fa}+\frac{1}{d_v}\sum f(u)\\
\]

然后这是颗树，我们可以将$DP$方程移项变成只与$fa$的$f$值个一个常数有关。

设：

\[f(v)=A_v*f_{fa}+B_v\\
\]

带回去化简：

\[f_v=1+\frac{1}{d_v}f_{fa}+\frac{1}{d_v}\sum (A_u*f_v+B_u)\\
(d_v-\sum A_u)*f_v=d_v+f_{fa}+\sum B_u\\
f_v=\frac{1}{d_v-\sum A_u}*f_{fa}+\frac{d_v+\sum B_u}{d_v-\sum A_u}
\]

得到：

\[A_v=\frac{1}{d_v-\sum A_u},B_v=\frac{d_v+\sum B_u}{d_v-\sum A_u}
\]

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 19

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=998244353;

ll ksm(ll t,ll x) {

	ll ans=1;

	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)

		if(x&1) ans=ans*t%mod;

	return ans;

}

int n;

int X,m;

struct road {int to,nxt;}s[N<<1];

int h[N],cnt;

void add(int i,int j) {s[++cnt]=(road) {j,h[i]};h[i]=cnt;}

ll w[N];

int d[N];

ll A[N],B[N],f[N];

int tag[N];

void dfs(int v,int fa) {

	A[v]=B[v]=0;

	ll sumA=0,sumB=0;

	for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {

		int to=s[i].to;

		if(to==fa) continue ;

		dfs(to,v);

		sumA=(sumA+A[to])%mod;

		sumB=(sumB+B[to])%mod;

	}

	if(tag[v]) A[v]=B[v]=0;

	else A[v]=ksm(d[v]-sumA+mod,mod-2),B[v]=(d[v]+sumB)*ksm(d[v]-sumA+mod,mod-2)%mod;

}

void dfs2(int v,int fa) {

	f[v]=(A[v]*f[fa]+B[v])%mod;

	for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {

		int to=s[i].to;

		if(to==fa) continue ;

		dfs2(to,v);

	}

}

int mn[1<<N];

int main() {

	n=Get(),m=Get(),X=Get();

	int a,b;

	for(int i=1;i<n;i++) {

		a=Get(),b=Get();

		add(a,b),add(b,a);

		d[a]++,d[b]++;

	}

	for(int S=1;S<1<<n;S++) {

		for(int i=1;i<=n;i++) if(S>>i-1&1) tag[i]=1;

		dfs(1,0),dfs2(1,0);

		mn[S]=f[X];

		for(int i=1;i<=n;i++) if(S>>i-1&1) tag[i]=0;

	}

	for(int S=1;S<1<<n;S++) {

		int cnt=0;

		for(int i=0;i<n;i++) cnt+=S>>i&1;

		if(!(cnt&1)) mn[S]=(mod-mn[S])%mod;

	}

	for(int i=0;i<n;i++) {

		for(int S=1;S<1<<n;S++) {

			if(S>>i&1) mn[S]=(mn[S]+mn[S^(1<<i)]+mod)%mod;

		}

	}

	while(m--) {

		int k=Get();

		int sta=0;

		while(k--) sta|=1<<Get()-1;

		cout<<mn[sta]<<"\n";

	}

	return 0;

}