SlopOne 改进

lope One

其基本的想法来自于简单的一元线性模型 $w = f(v) = v + b$。已知一组训练点 ${(v_i, w_i)}_{i=1}^n$，利用此线性模型最小化预测误差的平方和，我们可以获得

利用上式获得了$b$的取值后，对于新的数据点$v_{new}$，我们可以利用 $w_{new} = b + v_{new}$ 获得它的预测值。

直观上我们可以把上面求偏移 $b$ 的公式理解为 $w_i$ 和 $v_i$ 差值的平均值。

利用上面的直观，我们定义item $i$ 相对于 item $j$ 的平均偏差：

其中 $S_{j,i}()$ 表示同时对item $i$ 和 $j$ 给予了评分的用户集合，而 $card()$ 表示集合包含的元素数量。

有了上面的定义后，我们可以使用
获得用户 $u$ 对 item $j$ 的预测值。当把所有这种可能的预测平均起来，可以得到：

其中 $R_j$ 表示所有用户 $u$ 已经给予评分且满足条件 ($i \neq j$ 且 $S_{j,i}$非空) 的item集合。

对于足够稠密的数据集，我们可以使用近似

把上面的预测公式简化为

Weighted Slope One

Slope One中在计算 item $i$ 相对于 item $j$ 的平均偏差 $dev_{j,i}$ 时没有考虑到使用不同的用户数量平均得到的 $dev_{j,i}$，其可信度不同。假设有 $2000$ 个用户同时评分了 item $j$ 和 $k$，而只有$20$ 个用户同时评分了 item $j$ 和 $l$，那么显然获得的 $dev_{j, k}$ 比 $dev_{j, l}$
更具有说服力（类似于kNN中压缩相似度的思想）。所以一个修正是对最终的平均使用加权：

其中

（根据在Netflix上的经验，可能把 $c_{j,i}$ 再开方更合适）

Bi-Polar Slope One

Bi-Polar Slope One 进一步把用户已经给予评分的item划分为两类——like和dislike，而其划分的方法是判断对应的评分是否大于此用户的平均评分：

类似地，可以定义对item $i$ 和 $j$ 具有相同喜好的用户集合：

利用上面的定义，我们可以使用下面的公式为（like或dislike的item）获得新的偏差值：

这样可以计算从item $i$ 计算得到的预测值：

 
或者

最终 Bi-Polar Slope One 的预测公式为

最后的实验比较使用的度量为 MAE，其结果如下：