●洛谷P1291 [SHOI2002]百事世界杯之旅

题链：

https://www.luogu.org/recordnew/show/5861351
题解：

dp，期望
定义dp[i]表示还剩下i个盖子没收集时，期望还需要多少次才能手机完。
初始值：dp[0]=0
显然对于一个状态，我们随机得到一个盖子，有两种可能：
1.得到了曾经没有的盖子，概率为i/N，并转移到dp[i-1]。
2.得到了已经有了的盖子，概率为(N-i)/N，并转移到dp[i]。
所以dp转移式:
dp[i]=(i/n)*dp[i-1]+((N-i)/i)*dp[i]+1(加一表示本次的操作对答案贡献了1的值)
移项:
(i/N)dp[i]=(i/N)dp[i-1]+1
dp[i]=dp[i-1]+(N/i)
然后按上式累加起来就是答案了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N;
long long getcnt(long long rtm){
	int cnt=0;
	while(rtm) cnt++,rtm/=10;
	return cnt;
}
long long gcd(long long a,long long b){
	while(b^=a^=b^=a%=b);
	return a;
}
int main(){
	cin>>N;
	long long a=0,b=1;
	for(long long i=1,g;i<=N;i++)
		g=gcd(b,i),b=b/g*i;
	for(long long i=1,g;i<=N;i++)
		g=b/i,a+=N*g;
	if(a%b==0) cout<<a/b;
	else{
		long long c=a/b;
		a=a-c*b;
		long long g=gcd(a,b);
		a/=g; b/=g;
		long long cntc=getcnt(c);
		long long cnta=getcnt(a);
		long long cntb=getcnt(b);
		cout<<setfill(' ')<<setw(cntc+cnta)<<right<<a<<endl;
		cout<<setfill('-')<<setw(max(cnta,cntb)+cntc)<<left<<c<<endl;
		cout<<setfill(' ')<<setw(cntc+cntb)<<right<<b<<endl;
	}
	return 0;
}