算法题目

查找斐波纳契数列中第 N 个数。

所谓的斐波纳契数列是指:

* 前2个数是 0 和 1 。

* 第 i 个数是第 i-1 个数和第i-2 个数的和。

斐波纳契数列的前10个数字是:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

分析

斐波那契数列满足公式f(n) = f(n-1) + f(n-2),n > 0。这里我们的第一想法是使用递归,可是直接翻译公式出来的递归调用是这样的:

int fib(int n) {
if (n == 1) {
return 0;
}
if (n == 2){
return 1;
} return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

可是这个函数的事件复杂度恰好是最糟糕的指数级。怎么来证明它是指数级呢?

你可以先用一些测试数来测试一下这个方法:

当n = 40时,大概就需要0.5秒才能计算出来;

当n 为50时,需要等很久才能计算出实际的值。

下面来推导它的时间复杂度。

对于斐波那契数,有定理 :当n >= 0时,Fn < (5/3)n

首先使用归纳法来证明。对于基准情形,F1 = 0 < 5/3,F2 = 1 < 5/3。

然后假设i = 1,2,3,…,n 成立;这就是归纳假设。那么我们只需要证明出Fn+1 < (5/3)n+1 即可。

根据公式我们可以得出Fn+1 = Fn + Fn-1

推到过程如下:

Fn+1 < (5/3)n + (5/3)n-1

Fn+1 < (3/5)(5/3)n+1 + (3/5)2(5/3)n+1

Fn+1 < (24/25)(5/3)n+1 < (5/3)n+1

得证 Fn+1 < (5/3)n+1

同样的证明过程,可以证明出当n > 4时, Fn > (3/2)n

而T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 3。

T(n) >= fib(n) >= (3/2)n

因此这个函数的运行时间是以指数的速度增长。

可能有点不同的是,有的斐波那契数列是从1,1,2,3,…. 开始,所以有些微的差别。

这只是对级数做了一次平移。我们可以找一些方便证明的情况来证明。

更优解法

其实上面的递归违反了递归的合成效益法则,才导致了运行时间的指数级增长。

递归的四条基本准则:

1、基准情形。必须有总有某些基准情形,它无须递归就能解出。

2、不断推进。对于那些需要递归求解的情形,每一次递归调用都必须要使求解状况朝接近基准情形的方向推进。

3、设计法则。假设所有的递归调用都能运行。

4、合成效益法则。在求解一个问题的同一示例时,切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。

我们可以利用一个简单的for 循环来求解第N个斐波那契数。

int fibonacci(int n) {
if (n == 1) {
return 0;
} if (n == 2) {
return 1;
} int a = 0;
int b = 1;
int c = 0;
for (int i = 3; i < n + 1; i++) {
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return c;
}

使用两个变量分别保存f(n-1) 和f (n-2),然后从基准情况开始往第 n 个数推进。

改进后的函数时间复杂度是O(n),运行时间大概是 (3n - 1)大大减少了运行时间。

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