CSA Round 84 Growing Trees

题目

题目大意

给定一棵有 $n$ 个节点的树，边的权值每天变化。对于第 $i$ 条边，在第 $0$ 天，其权值为 $c_i$，每天权值变化 $a_i$（即，在第 $k$ 天，其权值为 $c_i + k a_i$）。求在第 $0$ 天到第 $D$ 天之间，树的直径的最小值，并且求出最早在哪一天达到最小值。

分析

二分答案

二分直径取到最小值是在哪一天。

求出第 $d$ 天树的直径的长度 $l_d$，并且求出当天某一条直径 $p_d$ 的长度变化率 $r_d$ 。

• 若 $r_d < 0$ ，则在第 $d$ 天之前，路径 $p_d$ 的长度必定大于 $l_d$，这意味着在第 $d$ 天之前，树的直径的长度也大于 $l_d$；因此树的直径长度小于 $l_d$ 只可能在第 $d$ 天之后出现。

• 同理，若 $r_d > 0$，则在第 $d$ 天之后，路径 $p_d$ 的长度必定大于 $l_d$，这意味着在第 $d$ 天之后，树的直径的长度也大于 $l_d$，因此树的直径长度小于 $l_d$ 只可能在第 $d$ 天之前出现。

• 若 $r_d = 0$ 则树的直径长度的最小值就是 $l_d$，此时需要检查在第 $d$ 天之前树的直径长度是否也可能是 $l_d$ 。