UVA11426 GCD - Extreme (II) —— 欧拉函数

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-11426

题意：

求 ∑ gcd(i，j)，其中 1<=i<j<=n 。

题解：
1. 欧拉函数的定义：满足 0<x<n 且 gcd(x,n) = 1 的x有euler[n]个。

2. 可以推论出：满足 0<2*x<2*n 且 gcd(2*x,2*n) = 2 的2*x同样有euler[n]个，推向一般：满足 0<k*x<k*n 且 gcd(k*x,k*n) = k 的k*x有euler[n]个。解释：其实就是对于n来说，在1~n-1内与它互质的数都乘上相应的倍数，同时n也乘上相应的倍数，因而他们的最大公约数也为乘上的倍数，但不管如何，个数没有改变，仍为euler[n]个，只不过是他们的值“放大”了罢。

3. 有了上述结论，就可以枚举每个欧拉函数euler[n]和系数k，然后进行统计。

AC代码：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <string>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int INF = 2e9;
 const LL LNF = 9e18;
 const int MOD = 1e9+;
 const int MAXN = +;

 int euler[MAXN];
 void getEuler()
 {
     memset(euler, , sizeof(euler));
     euler[] = ;
     for(int i = ; i<MAXN; i++) if(!euler[i]) {
         for(int j = i; j<MAXN; j += i)
         {
             if(!euler[j]) euler[j] = j;
             euler[j] = euler[j]/i*(i-);
         }
     }
 }

 LL sum[MAXN];
 void init()
 {
     getEuler();
     memset(sum, , sizeof(sum));
     for(int i = ; i<MAXN; i++)   // 枚举“单位”欧拉数
         for(int k = ; i*k<MAXN; k++)   // 枚举倍数
             sum[i*k] += k*euler[i];

     for(int i = ; i<MAXN; i++)
         sum[i] += sum[i-];
 }

 int main()
 {
     init();
     int n;
     while(scanf("%d", &n) &&n)
         printf("%lld\n", sum[n]);
 }