(bzoj1337 || 洛谷P1742 最小圆覆盖 )|| (bzoj2823 || 洛谷P2533 [AHOI2012]信号塔)

bzoj1337

洛谷P1742

用随机增量法。讲解：https://blog.csdn.net/jokerwyt/article/details/79221345

设点集A的最小覆盖圆为g(A)

可以发现:
1.g(A)是唯一的
2.g(A)可以由<=3个点唯一确定
①由一个点确定（所有点重合时）
②由两个点确定（圆直径必定为两点连线）
③由三个点确定（圆必定是过三点的唯一圆）

把A中在g(A)上的点叫做关键点
可以发现：若点b不在g(A)内（b不属于A），则b是g(A+b)的关键点
证明：如果b不是g(A+b)的关键点，即b在g(A+b)内，那么显然g(A+b)=g(A)，b在g(A)内，与题意矛盾

记点l,点l+1,点l+2,..,点r构成的集合为l..r
现在题目就是要求g(1..i)

设g(A,B)表示点集A的最小覆盖圆，并且点集B中所有点都在这个圆上
设Cir(x,y)表示一个圆心在点x，半径为y的圆
设Cir(a,b,c)表示由a,b,c三点确定的圆

g(1..i)
=g(1..i-1)(如果i属于g(1..i-1))
=g(1..i-1,i)(如果i不属于g(1..i-1))

g(空集,i)=Cir(i,0)

g(1..p,i)
=g(1..p-1,i)(如果p属于g(1..p-1,i))
=g(1..p-1,{i,p})(如果p不属于g(1..p-1,i))

g(空集,{i,j})=Cir((i,j中点),dis(i,j)/2)

g(1..q,{i,p})
=g(1..q-1,{i,p})(如果q属于g(1..q,{i,p}))
=g(1..q-1,{i,p,q})(如果q不属于g(1..q,{i,p}))

g(任意集合,{i,j,k})=Cir(i,j,k)

可以把以上过程改写成循环(以上相当于给出了从g(1..i-1)转移到g(1..i)的方法)

（以下代码交洛谷）

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 #include<ctime>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> pii;
 namespace X
 {
     const double eps=1e-;
     struct Point
     {
         double x,y;
         Point(double x=,double y=):x(x),y(y){}
     };
     typedef Point Vec;
     Vec operator+(const Vec& a,const Vec& b)
     {
         return Vec(a.x+b.x,a.y+b.y);
     }
     Vec operator-(const Vec& a,const Vec& b)
     {
         return Vec(a.x-b.x,a.y-b.y);
     }
     Vec operator*(double a,const Vec& b)
     {
         return Vec(a*b.x,a*b.y);
     }
     Vec operator*(const Vec& a,double b)
     {
         return Vec(b*a.x,b*a.y);
     }
     Vec operator/(const Vec& a,double b)
     {
         return Vec(a.x/b,a.y/b);
     }
     int dcmp(double x)
     //正为1，负为-1，0为0
     {
         if(fabs(x)<eps)    return ;
         return x<?-:;
     }
     bool operator==(const Vec& a,const Vec& b)
     //判向量相等
     {
         return dcmp(a.x-b.x)==&&dcmp(a.y-b.y)==;
     }
     double dot(const Vec& a,const Vec& b)
     //点积
     {
         return a.x*b.x+a.y*b.y;
     }
     double cross(const Vec& a,const Vec& b)
     //叉积
     {
         return a.x*b.y-a.y*b.x;
     }
     double len(const Vec& x)
     //向量长度
     {
         return sqrt(dot(x,x));
     }
     double angle(const Vec& a,const Vec& b)
     //夹角，0~180°
     {
         return acos(dot(a,b)/len(a)/len(b));
     }
     double angle1(const Vec& a,const Vec& b)
     //夹角，带方向，a到b逆时针为正，顺时针为负，共线为0
     {
         return acos(dot(a,b)/len(a)/len(b))*(dcmp(cross(a,b)));
     }
     Vec rotate(const Vec& a,double rad)
     //旋转，正为逆时针，负为顺时针
     {
         return Vec(a.x*cos(rad)-a.y*sin(rad),a.x*sin(rad)+a.y*cos(rad));
     }
     Vec normal(const Vec& x)
     //单位法线，左转90°后除以自身长度
     {
         double l=len(x);
         return Vec(-x.y/l,x.x/l);
     }
     Vec normal1(const Vec& x)
     //法线，不归一化
     {
         return Vec(-x.y,x.x);
     }
     Point lineline(const Point& p,const Vec& v,const Point& q,const Vec& w)
     //直线交点,GetLineIntersection
     {
         return p+v*cross(w,p-q)/cross(v,w);
     }
     double ptline(const Point& p,const Point& a,const Point& b)
     //point_to_line,点到直线距离,DistanceToLine
     {
         Vec v1=b-a,v2=p-a;
         return fabs(cross(v1,v2)/len(v1));
     }
     double ptseg(const Point& p,const Point& a,const Point& b)
     //point_to_segment,点到线段距离,DistanceToSegment
     {
         if(a==b)    return len(p-a);
         //Vec v1=b-a,v2=a-p,v3=p-b;
         Vec v1=b-a,v2=p-a,v3=p-b;
         if(dcmp(dot(v1,v2))<)    return len(v2);
         else if(dcmp(dot(v1,v3))>)    return len(v3);
         else return fabs(cross(v1,v2)/len(v1));
     }
     double area2(const Point& a,const Point& b,const Point& c)
     //叉积对应平行四边形的面积
     {
         return cross(b-a,c-a);
     }
     double thrarea(const Point& a,const Point& b,const Point& c)
     //三角形面积，绝对值
     {
         return fabs(cross(b-a,c-a)/);
     }
     bool ifpar(const Vec& a,const Vec& b)
     //ifParallel
     //是否共线/平行
     {
         return dcmp(cross(a,b))==;
     }
     Point pointline(const Point& p,const Point& a,const Vec& v)
     //点在直线上投影,GetLineProjection
     {
         return a+v*(dot(p-a,v)/dot(v,v));
     }
     double sqr(double x){return x*x;}
     double dis(const Point &x,const Point &y)
     {
         return sqrt(sqr(x.x-y.x)+sqr(x.y-y.y));
     }
 };
 using namespace X;
 Point p[];
 int n;
 Point a;
 double r;
 void make(const Point &x,const Point &y)
 {
     Vec t=(y-x)/;
     a=x+t;
     r=len(t);
 }
 void make(const Point &x,const Point &y,const Point &z)
 {
     Vec t1=(y-x)/,t2=(z-y)/;
     Point x1=x+t1,y1=y+t2;
     t1=normal1(t1);t2=normal1(t2);
     a=lineline(x1,t1,y1,t2);
     r=dis(a,x);
 }
 bool ok(const Point &x)
 {
     return dis(x,a)<=r;
 }
 int main()
 {
     int i,j,k;
     srand(time());
     scanf("%d",&n);
     for(i=;i<=n;i++)
         scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
     random_shuffle(p+,p+n+);
     a=p[];r=;
     for(i=;i<=n;i++)
         if(!ok(p[i]))
         {
             a=p[i];r=;
             for(j=;j<i;j++)
                 if(!ok(p[j]))
                 {
                     make(p[i],p[j]);
                     for(k=;k<j;k++)
                         if(!ok(p[k]))
                         {
                             make(p[i],p[j],p[k]);
                         }
                 }
         }
     printf("%.10f\n",r);
     printf("%.10f %.10f\n",a.x,a.y);
     return ;
 }

---

bzoj2823

洛谷P2533

此题同上面题，改一下输出格式就一样

bzoj数据稍微有点卡精度，把存储半径改成存储半径的平方就可以A了

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 #include<ctime>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> pii;
 namespace X
 {
     const double eps=1e-;
     struct Point
     {
         double x,y;
         Point(double x=,double y=):x(x),y(y){}
     };
     typedef Point Vec;
     Vec operator+(const Vec& a,const Vec& b)
     {
         return Vec(a.x+b.x,a.y+b.y);
     }
     Vec operator-(const Vec& a,const Vec& b)
     {
         return Vec(a.x-b.x,a.y-b.y);
     }
     Vec operator*(double a,const Vec& b)
     {
         return Vec(a*b.x,a*b.y);
     }
     Vec operator*(const Vec& a,double b)
     {
         return Vec(b*a.x,b*a.y);
     }
     Vec operator/(const Vec& a,double b)
     {
         return Vec(a.x/b,a.y/b);
     }
     int dcmp(double x)
     //正为1，负为-1，0为0
     {
         if(fabs(x)<eps)    return ;
         return x<?-:;
     }
     bool operator==(const Vec& a,const Vec& b)
     //判向量相等
     {
         return dcmp(a.x-b.x)==&&dcmp(a.y-b.y)==;
     }
     double dot(const Vec& a,const Vec& b)
     //点积
     {
         return a.x*b.x+a.y*b.y;
     }
     double cross(const Vec& a,const Vec& b)
     //叉积
     {
         return a.x*b.y-a.y*b.x;
     }
     double len(const Vec& x)
     //向量长度
     {
         return sqrt(dot(x,x));
     }
     double angle(const Vec& a,const Vec& b)
     //夹角，0~180°
     {
         return acos(dot(a,b)/len(a)/len(b));
     }
     double angle1(const Vec& a,const Vec& b)
     //夹角，带方向，a到b逆时针为正，顺时针为负，共线为0
     {
         return acos(dot(a,b)/len(a)/len(b))*(dcmp(cross(a,b)));
     }
     Vec rotate(const Vec& a,double rad)
     //旋转，正为逆时针，负为顺时针
     {
         return Vec(a.x*cos(rad)-a.y*sin(rad),a.x*sin(rad)+a.y*cos(rad));
     }
     Vec normal(const Vec& x)
     //单位法线，左转90°后除以自身长度
     {
         double l=len(x);
         return Vec(-x.y/l,x.x/l);
     }
     Vec normal1(const Vec& x)
     //法线，不归一化
     {
         return Vec(-x.y,x.x);
     }
     Point lineline(const Point& p,const Vec& v,const Point& q,const Vec& w)
     //直线交点,GetLineIntersection
     {
         return p+v*cross(w,p-q)/cross(v,w);
     }
     double ptline(const Point& p,const Point& a,const Point& b)
     //point_to_line,点到直线距离,DistanceToLine
     {
         Vec v1=b-a,v2=p-a;
         return fabs(cross(v1,v2)/len(v1));
     }
     double ptseg(const Point& p,const Point& a,const Point& b)
     //point_to_segment,点到线段距离,DistanceToSegment
     {
         if(a==b)    return len(p-a);
         //Vec v1=b-a,v2=a-p,v3=p-b;
         Vec v1=b-a,v2=p-a,v3=p-b;
         if(dcmp(dot(v1,v2))<)    return len(v2);
         else if(dcmp(dot(v1,v3))>)    return len(v3);
         else return fabs(cross(v1,v2)/len(v1));
     }
     double area2(const Point& a,const Point& b,const Point& c)
     //叉积对应平行四边形的面积
     {
         return cross(b-a,c-a);
     }
     double thrarea(const Point& a,const Point& b,const Point& c)
     //三角形面积，绝对值
     {
         return fabs(cross(b-a,c-a)/);
     }
     bool ifpar(const Vec& a,const Vec& b)
     //ifParallel
     //是否共线/平行
     {
         return dcmp(cross(a,b))==;
     }
     Point pointline(const Point& p,const Point& a,const Vec& v)
     //点在直线上投影,GetLineProjection
     {
         return a+v*(dot(p-a,v)/dot(v,v));
     }
     double sqr(double x){return x*x;}
     double dis2(const Point &x,const Point &y)
     {
         return sqr(x.x-y.x)+sqr(x.y-y.y);
     }
     double len2(const Vec &x){return dot(x,x);}
 };
 using namespace X;
 Point p[];
 int n;
 Point a;
 double r2;
 void make(const Point &x,const Point &y)
 {
     Vec t=(y-x)/;
     a=x+t;
     r2=len2(t);
 }
 void make(const Point &x,const Point &y,const Point &z)
 {
     Vec t1=(y-x)/,t2=(z-y)/;
     Point x1=x+t1,y1=y+t2;
     t1=normal1(t1);t2=normal1(t2);
     a=lineline(x1,t1,y1,t2);
     r2=dis2(a,x);
 }
 bool ok(const Point &x)
 {
     return dcmp(dis2(x,a)-r2)<=;
 }
 int main()
 {
     int i,j,k;
     srand(time());
     scanf("%d",&n);
     for(i=;i<=n;i++)
         scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
     random_shuffle(p+,p+n+);
     a=p[];r2=;
     for(i=;i<=n;i++)
         if(!ok(p[i]))
         {
             a=p[i];r2=;
             for(j=;j<i;j++)
                 if(!ok(p[j]))
                 {
                     make(p[i],p[j]);
                     for(k=;k<j;k++)
                         if(!ok(p[k]))
                         {
                             make(p[i],p[j],p[k]);
                         }
                 }
         }
     printf("%.2f %.2f ",a.x,a.y);
     printf("%.2f\n",sqrt(r2));
     return ;
 }