博弈论入门 Bash 、Nim 、Wythoff's Game结论及c++代码实现

SG函数先不说，给自己总结下三大博弈。和二进制及黄金分割联系密切，数学真奇妙，如果不用考试就更好了。

1.Bash Game：n个物品，最少取1个，最多取m个，先取完者胜。

给对手留下(m+1)的倍数肯定获胜。若n%(m+1)==0，先手必败。

51nod裸题：1066

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 int main(){
     int t; cin>>t;
     int n,k;
     while(t--){
         cin>>n>>k;
         if(n%(k+)==)  puts("B");
         else  puts("A");
     }
     return ;
 }

2.Nim Game：n堆物品，取某一堆的若干个，至少取一个，多者不限，先取完者胜。

在这个博弈中，对任何奇异局势 (a,b,c....n)，都有a^b^...^n==0。

所以直接检测给的局势，若是奇异局，先手必败。

如何将(a,b,c)转化成奇异局：将c变为a^b,即c -= a^b（^是异或）

51nod裸题：1069

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 int main(){
     int a[]={};
     int ans=;
     int n; cin>>n;
     for(int i=;i<n;i++){
         cin>>a[i];
         ans^=a[i];
     }
     if(ans)  puts("A");
     else  puts("B");
     return ;
 }

3.Wythoff's Game：两堆若干个，轮流从某一堆取任意个或同时从两堆取同样多任意个，最少一个，多者不限。先取完者胜。

局势：(ak,bk)

前几个奇异局：(0,0)  (1,2)  (3,5)  (4,7)  (6,10)  (8,13)  (9,15)  (11,18)  (12,20)……

1.发现差值递增，且局面中第一个值为前面局面中没有出现过的数字的第一个数，且所有自然数都会出现。

2.再找规律：第一个值=(int) (差值*1.618) 而1.618 = ( sqrt(5)+1 )/2

3.所以，只要ak == (int) (bk - ak) * ( sqrt(5) + 1 ) / 2 先手必输，否则先手必胜

51nod裸题：1072

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 double c=(sqrt()+)/;
 int main(){
     int t; cin>>t;
     int ak,bk;
     while(t--){
         cin>>ak>>bk;
         if(ak>bk) swap(ak,bk);
         int n=(bk-ak)*c;
         if(ak==n)  puts("B");
         else  puts("A");
     }
     return ;
 }