这篇博客不打算讲多么详细,网上关于后缀数组的blog比我讲的好多了,这一篇博客我是为自己加深印象写的。

给你们分享了那么多,容我自私一回吧~

参考资料:这位dalao的blog

一、关于求SuffixArray的一些变量定义:

1. sa[i]=j,表示第i名的后缀从j开始

**存的是下标**

2. rnk[i]=j,从i开始的后缀是第j名的

**与sa为互逆运算,存的是值**

3. tp[i]=j, 第二关键字为i的后缀从j开始

**可理解为第二关键字的SA,存的是下标**

插入解释一下第一关键字和第二关键字:

我们要对所有的后缀进行排序,怎么排呢?

开始时,我们每个字符的后缀存的只有它自己,所以它后缀的大小就是它的ASCII码。

我们把每个字符i看成(s[i],i)的二元组,如果我们直接丢pair<int,int>里面然后std::sort,

这样的时间复杂度是O(log^2 n)的,显然不够优秀。

所以就需要用到基数排序RadixSort,不了解的自行百度。

再使用倍增法,就可以使我们排序的时间复杂度降低到O(logn)。

所以我们要对每个后缀的前两个字母进行排序,第一个字母的相对关系已经得到了。

第i个后缀的第二个字母,就是第i+1个后缀的第一个字母,利用这个关系我们第二个字母的相对关系也就知道了。

我们的tp数组就是用来记录它的,rnk[i]表示上一轮中第i个后缀的排名。

这里引用神仙attack的一句话,我觉得讲的非常到位:

对于一个长度为w的后缀,你可以形象的理解为:

第一关键字针对前w2个字符形成的字符串,第二关键字针对后w2个字符形成的字符串

然后对每个后缀的前4个字母组成的字符串排序,前8个,前16个...这就是倍增法求SA的流程了。

给出RadixSort的代码:

void RadixSort(int a[],int b[]){//基数排序
for(int i=;i<=m;i++)tax[i]=;
for(int i=;i<=n;i++)tax[a[i]]++;
for(int i=;i<=m;i++)tax[i]+=tax[i-];
for(int i=n;i>=;i--)sa[tax[a[b[i]]]--]=b[i];
}

实在不能理解RadixSort也没有关系,代码很短

再给出求SA的代码:

bool cmp(int *r,int a,int b,int k){
return r[a]==r[b]&&r[a+k]==r[b+k];
}
void getSA(int a[],int b[]){
for(int i=;i<=n;i++)
m=max(m,a[i]=s[i]-''),b[i]=i;
RadixSort(a,b);
for(int p=,j=;p<n;j<<=,m=p){
p=;
for(int i=;i<=j;i++)b[++p]=n-j+i;
for(int i=;i<=n;i++)if(sa[i]>j)b[++p]=sa[i]-j;
RadixSort(a,b);
int *t=a;a=b;b=t;
a[sa[]]=p=;
for(int i=;i<=n;i++)
a[sa[i]]=cmp(b,sa[i],sa[i-],j)?p:++p;
}
}

关于代码的解释,有时间再填坑。本蒟蒻要学的算法还很多...SA就粗略地理解一下好了

开始填坑,先补充一个东西叫height数组。

height[i]表示排名为i的后缀和排名为i-1的后缀的最长公共前缀LCP。

暴力求解时间复杂度是O(n^2),根据一个性质height[i+1]>=height[i]-1

可以O(n)时间内求出height数组,具体代码:

void getHeight(){
for(int i=,j=;i<=n;i++){
if(j)j--;
while(s[i+j]==s[sa[rnk[i]-]+j])j++;
height[rnk[i]]=j;
}
}

关于这个height数组,它可以干什么,给出一张列表:

两个后缀的最大公共前缀

lcp(x,y)=min(heigh[x−y])lcp(x,y)=min(heigh[x−y]), 用rmq维护,O(1)查询

可重叠最长重复子串

height数组里的最大值

不可重叠最长重复子串

首先二分答案x,对height数组进行分组,保证每一组的最小height都>=x

依次枚举每一组,记录下最大和最小长度,若sa[max]−sa[min]>=x那么可以更新答案

本质不同的子串的数量

枚举每一个后缀,第i个后缀对答案的贡献为len−sa[i]+1−height[i]

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