洛谷P1006 传纸条【dp】

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1006

题意：

给定一个m*n的矩阵，从（1，1）向下或向右走到（m,n)之后向上或向左走回（1,1)，要求路径中每个点都不重复。

问使得权值和最大的路径的权值是多少。

思路：

这道题要学会把问题转化成，找两条从(1,1)到(m, n)互不相交的路径。因为过去和回来其实是相对的。

如果用一个四维dp，dp[i][j][k][l]表示从(1,1)到(i,j)的路径和从(1,1)到(k,l)的路径，他们互不相交的最大权值和。

分别枚举i,j,k,l, dp[i][j][k][l] = max(dp[i][j-1][k-1][l], dp[i-1][j][k-1][l], dp[i-1][j][k][l-1], dp[i][j-1][k][l-1])+g[i][j]+g[k][l]

当(i,j)==(k,l)时，这个点的权值只能算一次。

我们可以发现他走的方向规定之后，代表步数是一定的。因此我们可以缩减一维。

dp[step][i][j]就表示用step步，走到第i行和第j行时的两条互不相交路径的最大权值和。

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 #include<stack>
 #include<queue>
 #include<iostream>

 #define inf 0x7fffffff
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 typedef pair<string, string> pr;

 int n, m;
 const int maxn = ;
 int heart[maxn][maxn];
 int dp[maxn * ][maxn][maxn];

 int main()
 {
     scanf("%d%d", &m, &n);
     for(int i = ; i <= m; i++){
         for(int j = ; j <= n; j++){
             scanf("%d", &heart[i][j]);
         }
     }

     for(int step = ; step <= n + m - ; step++){
         for(int i = ; i <= m; i++){
             for(int j = ; j <= m; j++){
                 if(step - i +  <  || step - j +  < )continue;
                 dp[step][i][j] = max(max(dp[step - ][i][j], dp[step - ][i - ][j]), max(dp[step - ][i][j - ], dp[step - ][i - ][j - ])) + heart[i][step - i + ] + heart[j][step - j + ];
                 if(i == j){
                     dp[step][i][j] -= heart[i][step - i + ];
                 }
             }
         }
     }

     printf("%d\n", dp[n + m - ][m][m]);

     return ;
 }