Luogu2791 幼儿园篮球题【斯特林数，数学】

题目链接：洛谷

我一开始不知道$N,M$有什么用处，懵逼了一会儿，结果才发现是输入数据范围。。。

$$\begin{aligned}\binom{n}{k}Ans&=\sum_{i=0}^k\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}i^L \\&=\sum_{i=0}^k\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}\sum_{j=0}^Lj!\binom{i}{j}\begin{Bmatrix}L \\ j\end{Bmatrix} \\&=\sum_{j=0}^Lj!\begin{Bmatrix}L \\ j\end{Bmatrix}\sum_{i=0}^k\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}\binom{i}{j} \\&=\sum_{j=0}^Lj!\begin{Bmatrix}L \\ j\end{Bmatrix}\sum_{i=0}^k\binom{m}{j}\binom{m-j}{i-j}\binom{n-m}{k-i} \\&=\sum_{j=0}^L\frac{m!}{(m-j)!}\begin{Bmatrix}L \\j\end{Bmatrix}\sum_{i=0}^k\binom{m-j}{i-j}\binom{n-m}{k-i} \\&=\sum_{j=0}^L\frac{m!(n-j)!}{(k-j)!(n-k)!(m-j)!}\begin{Bmatrix}L \\j\end{Bmatrix}\end{aligned}$$

所以答案

$$Ans=\frac{m!k!}{n!}\sum_{i=0}^{\min(L,m,k)}\frac{(n-i)!}{(m-i)!(k-i)!}\begin{Bmatrix}L \\ i\end{Bmatrix}$$

上面第五行到第六行使用了范德蒙德卷积

$$\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k}$$

组合意义：在$n+m$个元素中取$k$个，前$n$个元素中选了$i$个。

而且要注意$i$的范围，不然就会挂成15分

时间复杂度$O(L(\log L+S))$。