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polyfit

多项式曲线拟合

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p = polyfit(x,y,n)

[p,S] = polyfit(x,y,n)

[p,S,mu] = polyfit(x,y,n)

 

说明

示例

p = polyfit(x,y,n) 返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数，该阶数是 y 中数据的最佳拟合（在最小二乘方式中）。p 中的系数按降幂排列，p 的长度为 n+1

p(x)=p1xn+p2xn−1+...+pnx+pn+1.

[p,S] = polyfit(x,y,n) 还返回一个结构体 S，后者可用作 polyval 的输入来获取误差估计值。

示例

[p,S,mu] = polyfit(x,y,n) 还返回 mu，后者是一个二元素向量，包含中心化值和缩放值。mu(1) 是 mean(x)，mu(2) 是 std(x)。使用这些值时，polyfit 将 x 的中心置于零值处并缩放为具有单位标准差

ˆx=x−‾xσx .

这种中心化和缩放变换可同时改善多项式和拟合算法的数值属性。

 

示例

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将多项式与三角函数拟合

Try This Example 

在区间 [0,4*pi] 中沿正弦曲线生成 10 个等间距的点。

x = linspace(0,4*pi,10);
y = sin(x);

使用 polyfit 将一个 7 次多项式与这些点拟合。

p = polyfit(x,y,7);

在更精细的网格上计算多项式并绘制结果图。

x1 = linspace(0,4*pi);
y1 = polyval(p,x1);
figure
plot(x,y,'o')
hold on
plot(x1,y1)
hold off

 

 

将多项式与点集拟合

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Try This Example 

创建一个由区间 [0,1] 中的 5 个等间距点组成的向量，并计算这些点处的 。

x = linspace(0,1,5);
y = 1./(1+x);

将 4 次多项式与 5 个点拟合。通常，对于 n 个点，可以拟合 n-1 次多项式以便完全通过这些点。

p = polyfit(x,y,4);

在由 0 和 2 之间的点组成的更精细网格上计算原始函数和多项式拟合。

x1 = linspace(0,2);
y1 = 1./(1+x1);
f1 = polyval(p,x1);

在更大的区间 [0,2] 中绘制函数值和多项式拟合，其中包含用于获取以圆形突出显示的多项式拟合的点。多项式拟合在原始 [0,1] 区间中的效果较好，但在该区间外部很快与拟合函数出现差异。

figure
plot(x,y,'o')
hold on
plot(x1,y1)
plot(x1,f1,'r--')
legend('y','y1','f1')

 

 

对误差函数进行多项式拟合

Try This Example 

首先生成 x 点的向量，在区间 [0,2.5] 内等间距分布；然后计算这些点处的 erf(x)。

x = (0:0.1:2.5)';
y = erf(x);

确定 6 阶逼近多项式的系数。

p = polyfit(x,y,6)

p = 1×7

    0.0084   -0.0983    0.4217   -0.7435    0.1471    1.1064    0.0004

为了查看拟合情况如何，在各数据点处计算多项式，并生成说明数据、拟合和误差的一个表。

f = polyval(p,x);
T = table(x,y,f,y-f,'VariableNames',{'X','Y','Fit','FitError'})

T=26×4 table
     X        Y          Fit         FitError
    ___    _______    __________    ___________

      0          0    0.00044117    -0.00044117
    0.1    0.11246       0.11185     0.00060836
    0.2     0.2227       0.22231     0.00039189
    0.3    0.32863       0.32872    -9.7429e-05
    0.4    0.42839        0.4288    -0.00040661
    0.5     0.5205       0.52093    -0.00042568
    0.6    0.60386       0.60408    -0.00022824
    0.7     0.6778       0.67775     4.6383e-05
    0.8     0.7421       0.74183     0.00026992
    0.9    0.79691       0.79654     0.00036515
      1     0.8427       0.84238      0.0003164
    1.1    0.88021       0.88005     0.00015948
    1.2    0.91031       0.91035    -3.9919e-05
    1.3    0.93401       0.93422      -0.000211
    1.4    0.95229       0.95258    -0.00029933
    1.5    0.96611       0.96639    -0.00028097
      ⋮

在该区间中，插值与实际值非常符合。创建一个绘图，以显示在该区间以外，外插值与实际数据值如何快速偏离。

x1 = (0:0.1:5)';
y1 = erf(x1);
f1 = polyval(p,x1);
figure
plot(x,y,'o')
hold on
plot(x1,y1,'-')
plot(x1,f1,'r--')
axis([0  5  0  2])
hold off

 

 

使用中心化和缩放改善数值属性

Try This Example 

创建一个由 1750 - 2000 年的人口数据组成的表，并绘制数据点。

year = (1750:25:2000)';
pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]';
T = table(year, pop)

T=11×2 table
    year       pop
    ____    _________

    1750     7.91e+08
    1775     8.56e+08
    1800     9.78e+08
    1825     1.05e+09
    1850    1.262e+09
    1875    1.544e+09
    1900     1.65e+09
    1925    2.532e+09
    1950    6.122e+09
    1975     8.17e+09
    2000    1.156e+10

plot(year,pop,'o')

使用带三个输入的 polyfit 拟合一个使用中心化和缩放的 5 次多项式，这将改善问题的数值属性。polyfit 将 year 中的数据以 0 为进行中心化，并缩放为具有标准差 1，这可避免在拟合计算中出现病态的 Vandermonde 矩阵。

[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);

使用带四个输入的 polyval，根据缩放后的年份 (year-mu(1))/mu(2) 计算 p。绘制结果对原始年份的图。

f = polyval(p,year,[],mu);
hold on
plot(year,f)
hold off

 

 

简单线性回归

Try This Example 

将一个简单线性回归模型与一组离散二维数据点拟合。

创建几个由样本数据点 (x,y) 组成的向量。将一个一阶多项式与这些数据拟合。

x = 1:50;
y = -0.3*x + 2*randn(1,50);
p = polyfit(x,y,1); 

计算在 x 中的点处拟合的多项式 p。用这些数据绘制得到的线性回归模型。

f = polyval(p,x);
plot(x,y,'o',x,f,'-')
legend('data','linear fit') 

 

 

具有误差估计值的线性回归

Try This Example 

将一个线性模型拟合到一组数据点并绘制结果，其中包含预测区间为 95% 的估计值。

创建几个由样本数据点 (x,y) 组成的向量。使用 polyfit 对数据进行一阶多项式拟合。指定两个输出以返回线性拟合的系数以及误差估计结构体。

x = 1:100;
y = -0.3*x + 2*randn(1,100);
[p,S] = polyfit(x,y,1); 

计算以 p 为系数的一阶多项式在 x 中各点处的拟合值。将误差估计结构体指定为第三个输入，以便 polyval 计算标准误差的估计值。标准误差估计值在 delta 中返回。

[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);

绘制原始数据、线性拟合和 95% 预测区间 。

plot(x,y,'bo')
hold on
plot(x,y_fit,'r-')
plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--')
title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval')
legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')

 

 

输入参数

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x - 查询点
向量

查询点，指定为一个向量。x 中的点对应于 y 中包含的拟合函数值。

x 具有重复（或接近重复）的点或者如果 x 可能需要中心化和缩放时的警告消息结果。

数据类型： single | double
复数支持： 是

y - 查询点位置的拟合值
向量

查询点位置的拟合值，指定为向量。y 中的值对应于 x 中包含的查询点。

数据类型： single | double
复数支持： 是

n - 多项式拟合的阶数
正整数标量

多项式拟合的阶数，指定为正整数标量。n 指定 p 中最左侧系数的多项式幂。

输出参数

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p - 最小二乘拟合多项式系数
向量

最小二乘拟合多项式系数，以向量的形式返回。p 的长度为 n+1，包含按降幂排列的多项式系数，最高幂为 n。如果 x 或 y 包含 NaN 值且 n < length(x)，则 p 的所有元素均为 NaN。

使用 polyval 计算 p 在查询点处的解。

S - 误差估计结构体
结构体

误差估计结构体。此可选输出结构体主要用作 polyval 函数的输入，以获取误差估计值。S 包含以下字段：

字段	说明
R	Vandermonde 矩阵 x 的 QR 分解的三角因子
df	自由度
normr	残差的范数

如果 y 中的数据是随机的，则 p 的估计协方差矩阵是 (Rinv*Rinv')*normr^2/df，其中 Rinv 是 R 的逆矩阵。

如果 y 中数据的误差呈独立正态分布，并具有常量方差，则 [y,delta] = polyval(...) 可生成至少包含 50% 的预测值的误差边界。即 y ± delta 至少包含 50% 对 x 处的未来观测值的预测值。

mu - 中心化值和缩放值
二元素向量

中心化值和缩放值，以二元素向量形式返回。mu(1) 为 mean(x)，mu(2) 为 std(x)。这些值以单位标准差将 x 中的查询点的中心置于零值处。

使用 mu 作为 polyval 的第四个输入以计算 p 在缩放点 (x - mu(1))/mu(2) 处的解。

局限性

• 在使用许多点的问题中，使用 polyfit 增加多项式拟合的阶并不能始终得到较好的拟合。高次多项式可以在数据点之间振动，导致与数据之间的拟合较差。在这些情况下，可使用低次多项式拟合（点之间倾向于更平滑）或不同的方法，具体取决于该问题。

• 多项式在本质上是无边界的振荡函数。所以，它们并不非常适合外插有界的数据或单调（递增或递减）的数据。

算法

polyfit 使用 x 构造具有 n+1 列和 m = length(x) 行的 Vandermonde 矩阵 V 并生成线性方程组

xn1xn2⋮xnmxn−11xn−12⋮xn−1m⋯⋯⋱⋯11⋮1p1p2⋮pn+1=y1y2⋮ym  ,

其中 polyfit 使用 p = V\y 求解。由于 Vandermonde 矩阵中的列是向量 x 的幂，因此条件数 V 对于高阶拟合来说通常较大，生成一个奇异系数矩阵。在这些情况下，中心化和缩放可改善系统的数值属性以产生更可靠的拟合。