Codeforces 870E Points, Lines and Ready-made Titles 计数

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题意

给定二维坐标上的\(n\)个点，过每个点可以 画一条水平线 或 画一条竖直线 或 什么都不画，并且若干条重合的直线被看做同一条。问共可能得到多少幅不同的画面？

题解

官方题解

仆の瞎扯

和bzoj 1854的并查集思路蜜汁契合

// 看完了题解的我这样想道

首先显然可以将图分为若干个联通块。

且慢，哪里来的图？

那就先考虑建图？

不急不急，先来想想看每一个联通块的性质。

如果该联通块中有环的话，肯定每条边都能取到；如果联通块是一棵树，那么必有一条边取不到（具体阐述见上bzoj 1854），所以只需要知道

1. 这个联通块中有多少条边
2. 这个联通块是不是环

这两个信息就可以了

那么可以直接上并查集。

什么样的点可以并到一起呢？横坐标相同的或者纵坐标相同的。

有没有环怎么维护呢？看有没有加进去的边的端点本身就在一个集合里。

联通块中边的数目又怎么知道呢？这倒还挺有意思的，其实只要直接看出现过多少个横坐标或者纵坐标就可以了，因为一个横坐标或者一个纵坐标就代表一条可以选的直线，所以这块联通块的贡献就是\(2^{x+y}或者2^{x+y}-1\)。

然后呢？就做完了。

然而呢？比赛结束。一天了。

然后再推荐一下葫芦爷的题解太强辣

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100010
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9+7;
struct node {
    int x, y;
}a[maxn];
int fa[maxn], sz[maxn], f[maxn], id[maxn], m[maxn];
bool circ[maxn], vis[maxn];
vector<int> v[maxn];
set<int> sx, sy;
bool cmp1(int i, int j) {
    return a[i].x < a[j].x || (a[i].x == a[j].x && a[i].y < a[j].y);
}
bool cmp2(int i, int j) {
    return a[i].y < a[j].y || (a[i].y == a[j].y && a[i].x < a[j].x);
}
LL poww(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) (ret *= a) %= mod;
        (a *= a) %= mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }
void unionn(int a, int b) {
    a = find(a), b = find(b);
    if (a == b) { circ[a] = true; return; }
    if (sz[a] > sz[b]) swap(a, b);
    fa[a] = b; sz[b] += sz[a];
    circ[b] |= circ[a];
}
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].y);
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) id[i] = i;
    for (int i = 0; i < n; ++i) fa[i] = i, sz[i] = 1;

    sort(id, id+n, cmp1);
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (a[id[i]].x == a[id[i-1]].x) unionn(id[i-1], id[i]);
    }
    sort(id, id+n, cmp2);
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (a[id[i]].y == a[id[i-1]].y) unionn(id[i-1], id[i]);
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) fa[i] = find(i);

    int tot = -1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (!vis[fa[i]]) vis[fa[i]] = true, f[++tot] = fa[i], m[fa[i]] = tot;
        v[m[fa[i]]].push_back(i);
    }
    LL ans = 1;
    for (int i = 0; i <= tot; ++i) {
        sx.clear(), sy.clear();
        for (auto idx : v[i]) {
            sx.insert(a[idx].x), sy.insert(a[idx].y);
        }
        LL mul = poww(2, sx.size()+sy.size());
        if (!circ[f[i]]) (mul += mod-1) %= mod;
        (ans *= mul) %= mod;
    }
    printf("%I64d\n", ans);
    return 0;
}