HDU5667—Sequence（对数转化）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667

题目意思：f1=1，i=1

　　　　　f2=2 ，i=2

　　　　　fi=a^b*f[i-1]^c*f[i-2] i>2

思路：发现a^b，和f[i-1]^c之类的东西，我们很明显吧这个幂变成乘，很自然的想到对数。问题是对什么取对数，最后发现对a取对数是合适的。

loga（fi）=loga（a^b*f[i-1]^c*f[i-2]）=loga(a^b)+loga(f[i-1]^c)+loga(f[i-2])，我们设k[i]=loga(fi)，所以k[i]=b+c*k[i-1]+k[i-2]。我们可以通过矩阵快速幂算出k[n]，然后a^k[n]=f[n]，可以直接用快速幂算出。

这里注意一下，由于k[n]非常大，所以为了使得a^k[n]%p==(a^(k[n]%y))%p，根据费马小定理如何gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），所以a^(p-1)%p=a^0%p，所以循环节为p-1，所以a^(k[n]%(p-1))%p。

这里还有注意一下如果a%p==0，a^(k[n]%(p-1))%p当k[n]=p-1的时候，a^(k[n]%(p-1))%p=1，但是实际上a^(k[n]%(p-1))%p=0，会造成错误，所以需要特判a%p==0的情况，不过这个题好像后台题目有点水，不必判断也能过貌似，所以代码里面没有体现

代码：

 #include <cstdio>
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 #define LL long long
 LL p,aa,bb,cc,n,mod; //mod为p-1
 struct matrix
 {
     LL mat[][];
 };
 matrix pow1(matrix a,matrix b) // N^3的矩阵相乘
 {
     matrix c;
     memset(c.mat,,sizeof(c.mat));
     for(int i=;i<;i++){
         for(int j=;j<;j++){
             for(int k=;k<;k++){
                 c.mat[i][j] += (a.mat[i][k]*b.mat[k][j]);
                 c.mat[i][j] %= mod;
             }
         }
     }
     return c;
 }
 matrix cheng(matrix a,LL y) //矩阵快速幂
 {
     matrix b;
     memset(b.mat,,sizeof(b.mat));
     for(int i=;i<;i++) b.mat[i][i] = ;
     while(y){
         if(y&){
             b = pow1(a,b);
             y-=;
         }else {
             a = pow1(a,a);
             y/=;
         }
     }
     return b;
 }
 LL quick_pow(LL a,LL tmp) //对a进行快速幂
 {
     LL b = 1ll;
     while(tmp)
     {
         if(tmp&) b=(a*b)%p;
         a=(a*a)%p;
         tmp>>=;
     }
     return b;
 }
 int main()
 {
     int t;
     scanf("%d",&t);
     while(t--){
         scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&aa,&bb,&cc,&p);
         matrix ma;
         mod = p-;
         memset(ma.mat,,sizeof(ma.mat));//初始化递归矩阵
         ma.mat[][] = cc; ma.mat[][] = ; ma.mat[][] = bb;
         ma.mat[][] = ; ma.mat[][] = ;

         ma = cheng(ma,n-); //算指数和直接幂有点不同
         LL tmp = ma.mat[][]*bb + ma.mat[][]; //取出指数
         LL ans = quick_pow(aa,tmp);
         printf("%lld\n",ans);

     }
     return ;
 }