NumPy-快速处理数据--矩阵运算

本文摘自《用Python做科学计算》，版权归原作者所有。

1. NumPy-快速处理数据--ndarray对象--数组的创建和存取

2. NumPy-快速处理数据--ndarray对象--多维数组的存取、结构体数组存取、内存对齐、Numpy内存结构

3. NumPy-快速处理数据--ufunc运算--广播--ufunc方法

接下来介绍矩阵运算

Numpy默认不使用矩阵运算，如果希望对数组进行矩阵运算的话需要调用相应的函数

matrix 对象

numpy库提供了matrix类，使用matrix类创建的是矩阵对象，它们的加减乘除运算缺省采用矩阵方式计算，因此用法和matlab十分类似。但是由于NumPy中同时存在ndarray和matrix对象，因此用户很容易将两者弄混。这有违Python的“显式优于隐式”的原则，因此并不推荐在较复杂的程序中使用matrix。下面是使用matrix的一个例子：

 >>> import numpy as np
 >>> a = np.matrix([[1,2,3],[5,5,6],[7,9,9]])
 >>> a**-1     # a 的逆矩阵
 matrix([[-0.6       ,  0.6       , -0.2       ],
         [-0.2       , -0.8       ,  0.6       ],
         [ 0.66666667,  0.33333333, -0.33333333]])
 >>> a * a**-1 # a与a的逆矩阵的乘积，结果是单位阵
 matrix([[  1.00000000e+00,   0.00000000e+00,   0.00000000e+00],
         [  4.44089210e-16,   1.00000000e+00,   4.44089210e-16],
         [  0.00000000e+00,  -4.44089210e-16,   1.00000000e+00]])

如果不使用matrix 对象，而把二维数组看作是矩阵的话，就需要使用dot函数进行计算。对于二维数组，它计算的是矩阵乘积，对于一维数组，它计算的是其点积。当需要将一维数组当作列矢量或者行矢量进行矩阵运算时，推荐先使用reshape或者shape函数将一维数组转换为二维数组：

 >>> a = np.array([1, 2, 3])
 >>> a.shape#a是一维数组
 (3,)
 >>> a.shape = (-1, 1)#使用shape直接修改a的维数
 >>> a
 array([[1],
        [2],
        [3]])
 >>> a.reshape(1, -1) #使用reshape也可以，但是他的返回值改变a的shape，而a本身不变
 array([[1, 2, 3]])
 >>> a
 array([[1],
        [2],
        [3]])

• dot ：对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)；对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积；对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和：

dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])

两个三维数组相乘

 >>> a = np.arange(12).reshape(2,3,2)
 >>> a
 array([[[ 0,  1],
         [ 2,  3],
         [ 4,  5]],

        [[ 6,  7],
         [ 8,  9],
         [10, 11]]])
 >>> b = np.arange(12,24).reshape(2,2,3)
 >>> b
 array([[[12, 13, 14],
         [15, 16, 17]],

        [[18, 19, 20],
         [21, 22, 23]]])
 >>> c = np.dot(a,b)
 >>> c
 array([[[[ 15,  16,  17],
          [ 21,  22,  23]],

         [[ 69,  74,  79],
          [ 99, 104, 109]],

         [[123, 132, 141],
          [177, 186, 195]]],

        [[[177, 190, 203],
          [255, 268, 281]],

         [[231, 248, 265],
          [333, 350, 367]],

         [[285, 306, 327],
          [411, 432, 453]]]])
 >>> c.shape
 (2, 3, 2, 3)

dot乘积的结果c可以看做是数组a, b的多个子矩阵的乘积：

 >>> np.alltrue( c[0,:,0,:] == np.dot(a[0],b[0]) )
 True
 >>> np.alltrue( c[1,:,0,:] == np.dot(a[1],b[0]) )
 True
 >>> np.alltrue( c[0,:,1,:] == np.dot(a[0],b[1]) )
 True
 >>> np.alltrue( c[1,:,1,:] == np.dot(a[1],b[1]) )
 True

• inner : 和dot乘积一样，对于两个一维数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和；对于多维数组，它计算的结果数组中的每个元素都是：数组a和b的最后一维的内积，因此数组a和b的最后一维的长度必须相同：

 inner(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:]*b[k,m,:])

 >>> a = np.arange(12).reshape(2,3,2)
 >>> b = np.arange(12,24).reshape(2,3,2)
 >>> c = np.inner(a,b)
 >>> c.shape
 (2, 3, 2, 3)
 >>> c[0,0,0,0] == np.inner(a[0,0],b[0,0])
 True
 >>> c[0,1,1,0] == np.inner(a[0,1],b[1,0])
 True
 >>> c[1,2,1,2] == np.inner(a[1,2],b[1,2])
 True

• outer : 只按照一维数组进行计算，如果传入参数是多维数组，则先将此数组展平为一维数组之后再进行运算。outer乘积计算的列向量和行向量的矩阵乘积：

 >>> np.outer([1,2,3],[4,5,6,7])
 array([[ 4,  5,  6,  7],
        [ 8, 10, 12, 14],
        [12, 15, 18, 21]])

矩阵中更高级的一些运算可以在NumPy的线性代数子库linalg中找到。例如inv函数计算逆矩阵，solve函数可以求解多元一次方程组。下面是solve函数的一个例子：

 >>> a = np.random.rand(10,10)
 >>> b = np.random.rand(10)
 >>> x = np.linalg.solve(a,b)

solve函数有两个参数a和b。a是一个N*N的二维数组，而b是一个长度为N的一维数组，solve函数找到一个长度为N的一维数组x，使得a和x的矩阵乘积正好等于b，数组x就是多元一次方程组的解。