[BZOJ3456]城市规划(生成函数+多项式求逆+多项式求ln)

城市规划

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题目描述

刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.
 刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱,
每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样,
那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.
 好了, 这就是困扰阿狸的问题. 换句话说, 你需要求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目.
 由于这个数字可能非常大, 你只需要输出方案数mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1)即可.

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输入格式

仅一行一个整数n(<=130000)

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输出格式

仅一行一个整数, 为方案数 mod 1004535809.

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样例输入

 3

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样例输出

 4

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提示

对于 100%的数据, n <= 130000

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题目来源

没有写明来源

传说中FFT应用的最高境界？现在恐怕配不上这个称号了。

http://blog.miskcoo.com/2015/05/bzoj-3456

解法一：

先按照惯例减弱条件限制，不要求图连通，再将连通和不联通之间的递推关系式化成卷积的形式。最后直接上生成函数，在模$x^{n+1}$下求多项式的逆元即可。

次数界放宽！递归求逆元的时候次数界要放成两倍！

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 using namespace std;

 const int N=,mod=,g=;
 int n,m,a[N],b[N],lg[N<<],fac[N],fin[N],tmp[N],c[N],b1[N],rev[N];

 int ksm(int a,int b){
     int res;
     for (res=; b; a=1ll*a*a%mod,b>>=)
         if (b&) res=1ll*res*a%mod;
     return res;
 }

 void DFT(int a[],int n,int f){
     for (int i=; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
     for (int i=; i<n; i<<=){
         int wn=ksm(g,(f==) ? (mod-)/(i<<) : (mod-)-(mod-)/(i<<));
         for (int p=i<<,j=; j<n; j+=p){
             int w=;
             for (int k=; k<i; k++,w=1ll*w*wn%mod){
                 int x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%mod; a[j+k]=(x+y)%mod; a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
             }
         }
     }
     if (f==) return;
     int inv=ksm(n,mod-);
     for (int i=; i<n; i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
 }

 void get(int a[],int b[],int l){
     if (l==){ b[]=ksm(a[],mod-); return ;}
     get(a,b,l>>); int n=l<<;
     for (int i=; i<l; i++) tmp[i]=a[i],tmp[i+l]=;

     for (int i=; i<n; i++) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(lg[n]-));
     DFT(tmp,n,); DFT(b,n,);
     for (int i=; i<n; i++) tmp[i]=1ll*b[i]*(-1ll*tmp[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
     DFT(tmp,n,-);

     for (int i=; i<l; i++) b[i]=tmp[i],b[i+l]=;
 }

 int main(){
     freopen("bzoj3456.in","r",stdin);
     freopen("bzoj3456.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n); fac[]=fin[]=; lg[]=;
     rep(i,,n<<) lg[i]=lg[i>>]+;
     rep(i,,n) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
     fin[n]=ksm(fac[n],mod-);
     for (int i=n-; i; i--) fin[i]=1ll*fin[i+]*(i+)%mod;
     rep(i,,n) b[i]=1ll*ksm(,1ll*i*(i-)/%(mod-))*fin[i]%mod;
     rep(i,,n) c[i]=1ll*ksm(,1ll*i*(i-)/%(mod-))*fin[i-]%mod;
     for (m=; m<=n; m<<=); get(b,b1,m);
     DFT(c,m<<,); DFT(b1,m<<,);
     for (int i=; i<(m<<); i++) c[i]=1ll*c[i]*b1[i]%mod;
     DFT(c,m<<,-); printf("%lld\n",1ll*c[n]*fac[n-]%mod);
     return ;
 }

解法二：指数型生成函数

惊奇地发现正好要求的函数可以放在exp的指数上，多项式求ln即可。

形式幂级数什么的真是太有意思了。

https://blog.csdn.net/u014609452/article/details/56291323

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 using namespace std;

 const int N=,mod=,g=;
 int n,m,G[N],G1[N],invG[N],lg[N<<],fac[N],fin[N],tmp[N],c[N],b1[N],rev[N];

 int ksm(int a,int b){
     int res;
     for (res=; b; a=1ll*a*a%mod,b>>=)
         if (b&) res=1ll*res*a%mod;
     return res;
 }

 void DFT(int a[],int n,int f){
     for (int i=; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
     for (int i=; i<n; i<<=){
         int wn=ksm(g,(f==) ? (mod-)/(i<<) : (mod-)-(mod-)/(i<<));
         for (int p=i<<,j=; j<n; j+=p){
             int w=;
             for (int k=; k<i; k++,w=1ll*w*wn%mod){
                 int x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%mod; a[j+k]=(x+y)%mod; a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
             }
         }
     }
     if (f==) return;
     int inv=ksm(n,mod-);
     for (int i=; i<n; i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
 }

 void get(int a[],int b[],int l){
     if (l==){ b[]=ksm(a[],mod-); return ;}
     get(a,b,l>>); int n=l<<;
     for (int i=; i<l; i++) tmp[i]=a[i],tmp[i+l]=;

     for (int i=; i<n; i++) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(lg[n]-));
     DFT(tmp,n,); DFT(b,n,);
     for (int i=; i<n; i++) tmp[i]=1ll*b[i]*(-1ll*tmp[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
     DFT(tmp,n,-);

     for (int i=; i<l; i++) b[i]=tmp[i],b[i+l]=;
 }

 int main(){
     freopen("bzoj3456.in","r",stdin);
     freopen("bzoj3456.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n); fac[]=fin[]=; lg[]=;
     rep(i,,n<<) lg[i]=lg[i>>]+;
     rep(i,,n) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
     fin[n]=ksm(fac[n],mod-);
     for (int i=n-; i; i--) fin[i]=1ll*fin[i+]*(i+)%mod;

     G[]=G[]=; G1[n]=;
     rep(i,,n) G[i]=1ll*ksm(,(1ll*i*(i-)/)%(mod-))*fin[i]%mod;
     rep(i,,n) G1[i-]=1ll*G[i]*i%mod;

     for (m=; m<=n; m<<=); get(G,invG,m); m<<=;
     DFT(G1,m,); DFT(invG,m,);
     for (int i=; i<m; i++) G1[i]=1ll*invG[i]*G1[i]%mod;
     DFT(G1,m,-);

     printf("%lld\n",(1ll*G1[n-]*ksm(n,mod-)%mod)*fac[n]%mod);
     return ;
 }