[Nescafé41]编码病毒(循环卷积)

题意看起来好麻烦实际上很简单，首先4s可以先bitset暴力一下，听说卡卡就能过：$O(2^{22}+n^2/32)$

 #include<cstdio>
 #include<bitset>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 using namespace std;

 const int N=,inf=0x3f3f3f3f;
 bitset<N>data,test;
 int n,m,ans,cost[N],cnt[];
 char s[N];

 int main(){
     freopen("virus.in","r",stdin);
     freopen("virus.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&m,&n); int t=(<<m)-; ans=inf;
     memset(cost,0x3f,sizeof(cost)); cost[]=;
     rep(i,,t){
         cnt[i]=cnt[i>>]+(i&);
         cost[i%n]=min(cost[i%n],cnt[i]+);
         cost[((n-i)%n+n)%n]=min(cost[((n-i)%n+n)%n],cnt[i]);
     }
     scanf("%s",s); rep(i,,n) data[i]=s[i]=='';
     scanf("%s",s); rep(i,,n) test[i]=s[i]=='';
     for (int i=; i<n; i++){
         if (i) { int j=data[]; data>>=; data[n-]=j; }
         int j=(data^test).count();
         ans=min(ans,min(j,n-j+)+cost[i]);
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

然后我们观察一下我们的这个暴力到底在做什么事情，发现后面的主循环实际上就是一个类似循环卷积的问题，我们要把它变成真正的卷积。

观察异或真值表：

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

我们变换一下：把a中0位上的值变成-1，1位上的值变成1，b中相反，于是就有：

0 0 1

0 1 -1

1 0 -1

1 1 1

最后我们将所有结果加1，再除以2，就变成上面的那个表了，这就成功将循环异或变成了循环卷积，直接做即可。

 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<complex>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 using namespace std;
 typedef complex<double> C;
 const int N=,inf=0x3f3f3f3f;
 const double pi=acos(-.);
 char s[N];
 int n,m,k,ans,cost[N],rev[N],cnt[],data[N],test[N],c[N];

 C a[N],b[N];

 void DFT(C a[],int n,int f){
     for (int i=; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
     for (int i=; i<n; i<<=){
         C wn=C(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
         for (int p=i<<,j=; j<n; j+=p){
             C w=C(,);
             for (int k=; k<i; k++,w=w*wn){
                 C x=a[j+k],y=a[i+j+k]*w; a[j+k]=x+y; a[i+j+k]=x-y;
             }
         }
     }
     if (f==-) for (int i=; i<n; i++) a[i].real()/=n;
 }

 void mul(int test[],int data[],int res[],int m){
     int n,L=;
     for (n=; n<=m; n<<=) L++;
     for (int i=; i<n; i++) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
     for (int i=; i<n; i++) a[i]=C((double)test[i],),b[i]=C((double)data[i],);
     DFT(a,n,); DFT(b,n,); for (int i=; i<n; i++) a[i]=a[i]*b[i]; DFT(a,n,-);
     m/=; for (int i=; i<m; i++) res[i]=int(a[i+m-].real()+0.5);
 }

 int main(){
     freopen("virus.in","r",stdin);
     freopen("virus.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&m,&n); int t=(<<m)-; ans=inf;
     memset(cost,0x3f,sizeof(cost)); cost[]=;
     rep(i,,t){
         cnt[i]=cnt[i>>]+(i&);
         cost[i%n]=min(cost[i%n],cnt[i]+);
         cost[((n-i)%n+n)%n]=min(cost[((n-i)%n+n)%n],cnt[i]);
     }
     scanf("%s",s); for (int i=; i<n; i++) data[i]=data[i+n]=((s[i]=='')?:-);
     scanf("%s",s); for (int i=; i<n; i++) test[n-i-]=((s[i]=='')?:-);
     mul(test,data,c,*n);
     for (int i=; i<n; i++) k=(c[i]+n)>>,ans=min(ans,cost[i]+min(k+,n-k));
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }