洛谷P2168 [NOI2015] 荷马史诗 [哈夫曼树]

　　题目传送门

荷马史诗

Description

追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词，从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词，使得其满足如下要求:

对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择 si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少？

一个字符串被称为 k 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间（包括 0 和 k−1）的整数。

字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1..t]。其中，m 是字符串 Str2 的长度，Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

 

Input

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种单词，需要使用 k 进制字符串进行替换。

接下来 n 行，第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi，表示第 i 种单词的出现次数。

 

Output

输出文件包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

 

Sample Input

4 2
1
1
2
2

Sample Output

12
2

HINT

用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。

一种最优方案：令 00(2) 替换第 1 种单词，01(2) 替换第 2 种单词，10(2) 替换第 3 种单词，11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×2+1×2+2×2+2×2=12

最长字符串 si 的长度为 2。

一种非最优方案：令 000(2) 替换第 1 种单词，001(2) 替换第 2 种单词，01(2) 替换第 3 种单词，1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×3+1×3+2×2+2×1=12

最长字符串 si 的长度为 3。与最优方案相比，文章的长度相同，但是最长字符串的长度更长一些。

 

对于所有数据，保证 2≤n≤100000，2≤k≤9。

选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

---

　　分析：

　　在lyd的书上看到的题，一道理解哈夫曼树的好题。

　　一开始看到这道题真的一脸懵逼，什么鬼？但实际上给这道题就是最基本的构造哈夫曼树。关于哈夫曼树的知识蒟蒻估计自己也讲不太清，就不多介绍了，这里就只讲下这道题的思路。看懂题意之后不难理解，需要维护的是最短带权路径和与树的高度，那就不难想到用优先队列依次将权值最小的k个点合并成父节点，直到只剩下一个节点为止。

　　当然，要注意补足节点。因为每次都是将k个节点合并为1个（减少k-1个），一共要将n个节点合并为1个，如果（n-1）%（k-1）！=0 则最后一次合并时不足k个。也就表明了最靠近根节点的位置反而没有被排满，因此我们需要加入k-1-（n-1）%（k-1）个空节点使每次合并都够k个节点（也就是利用空节点将其余的节点挤到更优的位置上）。

　　Code：

　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,k,cnt,ans,maxh,temp;
struct Node{
    ll val,h;
    Node(ll x,ll y)
    {val=x;h=y;}
    bool friend operator < (const Node x,const Node y){
        return x.val==y.val?x.h>y.h:x.val>y.val;}
};
priority_queue<Node>team;
inline ll read()
{
    char ch=getchar();ll num=;bool flag=false;
    while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')flag=false;ch=getchar();}
    while(ch>=''&&ch<=''){num=num*+ch-'';ch=getchar();}
    return flag?-num:num;
}
int main()
{
    n=read();k=read();
    for(int i=;i<=n;i++){
    temp=read();team.push(Node(temp,));}
    if((n-)%(k-)!=)cnt=k--(n-)%(k-);
    for(int i=;i<=cnt;i++)team.push(Node(,));
    cnt+=n;
    while(cnt>){
        temp=maxh=;
        for(int i=;i<=k;i++){
            Node x=team.top();
            team.pop();
            temp+=x.val;
            maxh=max(maxh,x.h);}
        ans+=temp;
        team.push(Node(temp,maxh+));
        cnt-=k-;}
    printf("%lld\n%lld\n",ans,team.top().h-);
    return ;
}