【uoj#207】共价大爷游长沙 随机化+LCT维护子树信息

题目描述

给出一棵树和一个点对集合S，多次改变这棵树的形态、在集合中加入或删除点对，或询问集合内的每组点对之间的路径是否都经过某条给定边。

输入

输入的第一行包含一个整数 id，表示测试数据编号，如第一组数据的id=1，样例数据的 id 可以忽略。
输入的第二行包含两个整数 n,m，分别表示图中的点数，以及接下来会发生的事件数，事件的定义下文中会有描述。初始时 S 为空。
接下来 n−1 行，每行两个正整数 x,y，表示点 x 和点 y 之间有一条无向边。
接下来 m 行，每行描述一个事件，每行的第一个数 type 表示事件的类型。
若type=1，那么接下来有四个正整数x,y,u,v，表示先删除连接点x和点y的无向边，保证存在这样的无向边，然后加入一条连接点u和点v的无向边，保证操作后的图仍然满足题中所述条件。
若type=2，那么接下来有两个正整数 x,y，表示在 S 中加入点对 (x,y)。
若type=3，那么接下来有一个正整数 x，表示删除第 x 个加入 S 中的点对，即在第 x 个 type=2 的事件中加入 S 中的点对，保证这个点对存在且仍然在 S 中。
若 type=4，那么接下来有两个正整数 x,y，表示小L询问守在连接点 x 和点 y 的边上是否一定能见到共价大爷，保证存在这样的无向边且此时 S 不为空。

输出

对于每个小L的询问，输出“YES”或者“NO”（均不含引号）表示小L一定能或者不一定能见到共价大爷。

样例输入

0
5 7
1 2
1 3
2 4
1 5
2 1 5
1 1 5 2 5
4 2 5
2 1 4
4 2 5
3 1
4 2 4

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题解

随机化+LCT维护子树信息

对与每个点对，随机一个权值，把这个权值异或到这两个点上。那么对于查询，如果 x 为树根时，y 子树中的所有点的权值的异或和等于所有点对的异或和，则视为所有点对间的路径都经过 x-y 。（别问我怎么想出来的。。。做过一道类似的题）

当权值范围足够大时可以近似视为正确。

由于树的形态是变化的，因此需要使用LCT维护子树信息，具体方法参见这里。

注意维护子树信息的LCT：link时需要makeroot(x),makeroot(y)；修改时需要makeroot(x)而不是简单的splay(x)；查询时需要先makeroot(x)。

时间复杂度 $O(LCT·n\log n)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int fa[N] , c[2][N] , rev[N] , w[N] , sum[N] , vx[N * 3] , vy[N * 3] , vw[N * 3] , tot;
inline void pushup(int x)
{
	sum[x] = sum[c[0][x]] ^ sum[c[1][x]] ^ w[x];
}
inline void pushdown(int x)
{
	if(rev[x])
	{
		int l = c[0][x] , r = c[1][x];
		swap(c[0][l] , c[1][l]) , rev[l] ^= 1;
		swap(c[0][r] , c[1][r]) , rev[r] ^= 1;
		rev[x] = 0;
	}
}
inline bool isroot(int x)
{
	return c[0][fa[x]] != x && c[1][fa[x]] != x;
}
void update(int x)
{
	if(!isroot(x)) update(fa[x]);
	pushdown(x);
}
inline void rotate(int x)
{
	int y = fa[x] , z = fa[y] , l = (c[1][y] == x) , r = l ^ 1;
	if(!isroot(y)) c[c[1][z] == y][z] = x;
	fa[x] = z , fa[y] = x , fa[c[r][x]] = y , c[l][y] = c[r][x] , c[r][x] = y;
	pushup(y) , pushup(x);
}
inline void splay(int x)
{
	int y , z;
	update(x);
	while(!isroot(x))
	{
		y = fa[x] , z = fa[y];
		if(!isroot(y))
		{
			if((c[0][y] == x) ^ (c[0][z] == y)) rotate(x);
			else rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
}
inline void access(int x)
{
	int t = 0;
	while(x) splay(x) , w[x] ^= sum[c[1][x]] ^ sum[t] , c[1][x] = t , t = x , x = fa[x];
}
inline void makeroot(int x)
{
	access(x) , splay(x) , swap(c[0][x] , c[1][x]) , rev[x] ^= 1;
}
inline void link(int x , int y)
{
	makeroot(x) , makeroot(y) , fa[x] = y , w[y] ^= sum[x] , pushup(y);
}
inline void cut(int x , int y)
{
	makeroot(x) , access(y) , splay(y) , fa[x] = c[0][y] = 0 , pushup(y);
}
int main()
{
	srand(20011011);
	int n , m , i , opt , x , y , u , v , now = 0;
	scanf("%*d%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) scanf("%d%d" , &x , &y) , link(x , y);
	while(m -- )
	{
		scanf("%d%d" , &opt , &x);
		if(opt == 1) scanf("%d%d%d" , &y , &u , &v) , cut(x , y) , link(u , v);
		else if(opt == 2)
		{
			scanf("%d" , &y);
			vx[++tot] = x , vy[tot] = y , vw[tot] = (rand() << 15) + rand() , now ^= vw[tot];
			makeroot(x) , w[x] ^= vw[tot] , pushup(x);
			makeroot(y) , w[y] ^= vw[tot] , pushup(y);
		}
		else if(opt == 3)
		{
			now ^= vw[x];
			makeroot(vx[x]) , w[vx[x]] ^= vw[x] , pushup(vx[x]);
			makeroot(vy[x]) , w[vy[x]] ^= vw[x] , pushup(vy[x]);
		}
		else scanf("%d" , &y) , makeroot(x) , access(y) , splay(y) , puts(sum[x] == now ? "YES" : "NO");
	}
	return 0;
}