最短路知识点总结（Dijkstra，Floyd，SPFA，Bellman-Ford）

Dijkstra算法：

解决的问题：

带权重的有向图上单源最短路径问题。且权重都为非负值。如果采用的实现方法合适，Dijkstra运行时间要低于Bellman-Ford算法。

思路：

如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}，应用了贪心的思想。根据这种思路，直接给出Dijkstra算法的伪代码，他可用于计算正权图的单源最短路径，同时适用于无向图和有向图。

清除所有点的标号

设d[0]=0,其他d[i]=INF

循环n次

{

在所有点的标号中，选出d值最小的结点x

给结点x标记

对于从x出发的所有边（x,y），更新d[y]=min{d[y],d[x]+w(x,y)}

}

除了求出最短路的长度外，使用Dijkstra算法也能很方便地打印出结点0到所有节点的最短路本身.

代码实现：

void dijkstra(int start)//从start点开始
{
    int i,j,k;
    memset(vis,0,sizeof(vis));//标记是否访问过
    for(i=1; i<=n; i++)//n为总点数
    {
        if(i==start)
            dis[i]=0;
        else
            dis[i]=INF;
    }
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        int r;
        int min=INF;
        for(j=1; j<=n; j++)
            if(!vis[j]&&dis[j]<min)
            {
                min=dis[j];
                r=j;
            }
        vis[r]=1;
        for(k=1; k<=n; k++)//对所有从r出发的边进行松弛
            if(dis[k]<(dis[r]+g[r][k]))
                dis[k]=dis[k];
            else
                dis[k]=dis[r]+g[r][k];
    }
    return;
}

　　Floyd算法：

负权重的边可以存在，但不能存在权重为负值的环路

算法考虑的是一条最短路径上的中间结点。

              算法核心思想：  三圈for循环

for (int k = 0; k < graph.getNumVex(); k++) {

                     for (int v = 0; v < graph.getNumVex(); v++) {

                            for (int w = 0; w < graph.getNumVex(); w++) {

                                   if (d[v][w] > d[v][k] + d[k][w]) {

                                          d[v][w] = d[v][k] + d[k][w];

                                          p[v][w] = p[v][k];// p[v][w]是v--w最短路径上 v的下一顶点

                                   }

                            }

                     }

              }

　　

第一层 k是作为中间顶点

第二层 v是作为起始顶点

第三层 w是作为终点顶点

内层核心代码：

以v为起点，w为终点，再以k作为v和w之间的中间点，去判断d[v][ w]和d[v][k] + d[k][w]的大小关系，如果d[v][w] > d[v][k] + d[k][w]，说明找到从v→w的更短路径了，此时更改d[v][w]的值为d[v][k] + d[k][w]。

p[v][w]的值也要相应改成p[v][k]的值，因为 p[v][k]的值是v→k最短路径上v的后继顶点，而v→w这段最短路径是连接在v→k这段路径后面的，所以令所当然p[v][w]也要指向p[v][k]。

注意：最外层的k循环，前面的n此循环的结果跟后面n+1次循环的错做过程是息息相关，

三次循环完成后，各个顶点之间的最短路径权重会存储在d矩阵中：d[i][j]表示i→j的最短路径权重。

邻接矩阵算法实现：

void Floyd(MGraph g)
{
 　　int A[MAXV][MAXV];
 　　int path[MAXV][MAXV];
 　　int i,j,k,n=g.n;
 　　for(i=0;i<n;i++)
    　　for(j=0;j<n;j++)
    　　{ 　　
             A[i][j]=g.edges[i][j];
         　　 path[i][j]=-1;
     　 }
 　　for(k=0;k<n;k++)
 　　{
      　　for(i=0;i<n;i++)
         　　for(j=0;j<n;j++)
             　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
             　　{
                   　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
                   　　path[i][j]=k;
              　 }
    　}
}

　Bellman-Ford算法　

解决的问题：

一般情况下的单源最短路径问题，这里权重可以为负值。

Bellman-ford算法返回一个布尔值，一表明是否存在一个从源结点可以到达的权重为负的环路。如果存在这样一个环路，算法将告诉我们不存在解决方案，如果没有这种环路的存在算法将给出最短路径和他们的权重。

   Bellman-Ford算法的流程如下：
             给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
    对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
    若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出     单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

  Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
    第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
    第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
    第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
    d（v） > d (u) + w(u,v)
    则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 0x3f3f3f3f
#define N 1010
int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点
typedef struct Edge //边
{
    int u,v;
    int cost;
} Edge;
Edge edge[N];
int dis[N], pre[N];
bool Bellman_Ford()
{
    for(int i = 1; i <= nodenum; ++i)
    {
        if(i==original)
            dis[i]=0;
        else
            dis[i]=MAX;
    }
    for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)//循环n-1次
        for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)//遍历每条边
        {
            if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）
            {
                dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
                printf("%d ",dis[edge[j].v]);
                pre[edge[j].v] = edge[j].u;
            }
            printf("%d ",dis[edge[j].v]);
        }
    bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
    for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
        if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
        {
            flag = 0;
            break;
        }
    return flag;
}
void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）
{
    while(root != pre[root]) //前驱
    {
        printf("%d-->", root);
        root = pre[root];
    }
    if(root == pre[root])
        printf("%d\n", root);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);
    pre[original] = original;
    for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
    {
        scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
    }
    if(Bellman_Ford())
        for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
        {
            printf("%d\n", dis[i]);
            printf("Path:");
            print_path(i);
        }
    else
        printf("have negative circle\n");
    return 0;
}

spfa算法：

算法流程

算法大致流程是用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。

这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法

SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：

设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。

维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于 Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。

SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右。

代码模板：

SPFA
void Spfa()
{
    for (int i(0); i<num_town; ++i)//初始化
    {
        dis[i] = MAX;
        visited[i] = false;
    }
    queue<int> Q;
    dis[start] = 0;
    visited[start] = true;
    Q.push(start);
    while (!Q.empty()){
        int temp = Q.front();
        Q.pop();
        for (int i(0); i<num_town; ++i)
        {
            if (dis[temp] + road[temp][i] < dis[i])//存在负权的话，就需要创建一个COUNT数组，当某点的入队次数超过V(顶点数)返回。
            {
                dis[i] = dis[temp] + road[temp][i];
                if (!visited[i])
                {
                    Q.push(i);
                    visited[i] = true;
                }
            }
        }
        visited[temp] = false;
    }
}

　　四种算法总结完了，都是东拼西凑的，自己学的也不好，还是静下心来好好学吧。也许有一天，你发觉日子特别的艰难，那可能是这次的收获将特别的巨大。这几天总是在抱怨生活，患得患失，却忘了自己为什么留下来暑期集训，因为你什么都没有，所以你必须努力！噶呜！~加油

————Anonymous.PJQ