【HNOI2010】城市建设（对时间分治 & Kruskal）

Description

\(n\) 个点 \(m\) 条边的带边权无向图。\(q\) 次操作，每次修改一条边的权值。

求每次修改后的最小生成树的边权和。

Hint

\(1\le n\le 2\times 10^4, 1\le m, q\le 5\times 10^4, 1\le \text{边权}\le 5\times 10^7\)

Solution

考虑对时间进行分治，\(\textbf{solve}(l, r)\) 表示处理第 \(l\) 到第 \(r\) 个操作，并对原图生效这些修改的过程。

显然如果在 \(l = r\) 时直接将 \(m\) 条边放一起跑 MST 那好像是为了分治而分治。分治是将问题划分达到 减小规模 的目的，然而这里在 \(\textbf{solve}\) 的每一层中我们的问题规模并没有变。

求 MST 的时间消耗主要取决于在 边的规模。思考如何可以把边的规模缩小。

首先我们将当前 \(\textbf{solve}(l, r)\) 过程的边进行分类：动态边（存在一个在 \([l, r]\) 中的操作对该边进行了修改）以及 静态边（没有位于 \([l, r]\) 的对其修改的操作）。

动态边，对于当下来说，是不能随便剪掉的，于是着重对静态边考虑。其中有一部分边是当前及之后的分治中 必定会选中的边，还有是 必定不会选的边。对于必定会选中的边，我们完全可以把这些边跑 Kruskal 先在 \(\textbf{solve}(l, r)\) 中做掉，这和在分治终点处做 \(r-l+1\) 遍的效果是一样的；而对于必定不会选的边，在 \(\textbf{solve}(l, r)\) 中直接扔掉也无妨，因为这些边迟早会在分治终点处再扔 \(r-l+1\) 遍。

现在要做的就是设计这两个过程，这里分别记为 \(\textbf{contraction}\) 和 \(\textbf{reduction}\)。

• \(\textbf{contraction}\)

  我们先将所有当前的动态边都在并查集中连上，然后再一个个连静态边，并记录下来所有成功连上的静态边。这些成功连上的就是必选边。这里一开始就连动态边，旨在把这些边按修改地尽量小考虑（此处相当于令动态边权 \(=-\infty\)），也就是说不管这些边会被改的多小，那些成功连上的照样选上。

• \(\textbf{reduction}\)

  我们先把所有当前的动态边都略过，只连静态边，并记录未成功连上的边。这些未成功连上的就是无用边。这里将动态边直接忽略，旨在把这些边按修改地尽量大考虑（此处相当于令动态边权 \(=+\infty\)），即无论这些动态边被改大到什么地步，给静态边留了多少的余地，这部分为成功连上的对结果仍然没有贡献。

通过这两个过程，边的规模得到了减小。那么具体减到多小呢？

\(\textbf{contraction}\) 中，我们有不超过 \(r-l+1\) 条动态边，于是就有不少于 \(n-(r-l+1)-1\) 条必选边。这些边会使原图中的连通块消至 \(O(r-l+1)\) 的规模；\(\textbf{reduction}\) 中，由于 \(\textbf{contraction}\) 后需要考虑的点数已经缩小至区间长度级别，那么有用的边只能有点数规模这么多。

于是总复杂度 \(T(n) = 2T(\frac n 2) + O(n\log n) = O(n\log^2 n)\)。

最后在分治的终点，记得先修改，然后把当前边集中剩下的一点也给做掉记录答案。

具体实现时其实还有许多细节：

• 并查集需要支持撤销，于是不能用路径压缩，只能启发式、按秩合并。
• 如果 solve 函数中有用 vector 作为参数表示当前边集的话，千万不要加 & 引用。左边递归后再到右侧会把边集改掉然后出大问题。
• 不开 long long 见祖宗。

Code

/*
 * Author : _Wallace_
 * Source : https://www.cnblogs.com/-Wallace-/
 * Problem : HNOI2010 城市建设
 */
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
const int N = 2e4 + 5;
const int M = 5e4 + 5;

int n, m, Q;

struct unionFind{
    int fa[N], siz[N];
    int stk[N], top;
    void reset(int n) {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            fa[i] = i, siz[i] = 1;
        top = 0;
    }
    int find(int x) {
        return x == fa[x] ? x : find(fa[x]);
    }
    void merge(int x, int y) {
        if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;
        if (siz[x] > siz[y]) swap(x, y);
        fa[x] = y, siz[y] += siz[x], stk[++top] = x;
    }
    void back(int t) {
        while (top > t) {
            int x = stk[top--];
            siz[fa[x]] -= siz[x], fa[x] = x;
        }
    }
} ufs;

struct Edge {
    int u, v, w;
    inline bool operator < (const Edge& rhs) const {
        return w < rhs.w;
    }
} e[M];
struct Query {
    int k, d;
} q[M];
long long ans[M];
bool vis[M];

bool cmp(const int& x, const int& y) {
    return e[x] < e[y];
}

void contraction(int l, int r, vector<int>& can_e, long long& val) {
    int backtr = ufs.top; vector<int> rec;
    sort(can_e.begin(), can_e.end(), cmp);
    for (int i = l; i <= r; i++) ufs.merge(e[q[i].k].u, e[q[i].k].v);
    for (auto i : can_e) if (!vis[i]) {
        int u = ufs.find(e[i].u), v = ufs.find(e[i].v);
        if (u != v) rec.emplace_back(i), ufs.merge(u, v), val += e[i].w;
    }
    ufs.back(backtr);
    for (auto i : rec) ufs.merge(e[i].u, e[i].v);
}

void reduction(vector<int>& can_e) {
    int backtr = ufs.top; vector<int> rec;
    sort(can_e.begin(), can_e.end(), cmp);
    for (auto i : can_e)
        if (vis[i]) {
            rec.emplace_back(i);
        } else {
            int u = ufs.find(e[i].u), v = ufs.find(e[i].v);
            if (u != v) ufs.merge(u, v), rec.emplace_back(i);
        }
    ufs.back(backtr), rec.swap(can_e);
}

void solve(int l, int r, vector<int> can_e, long long val) {
    if (l == r) e[q[l].k].w = q[l].d;
    int backtr = ufs.top;
    if (l == r) {
        sort(can_e.begin(), can_e.end(), cmp);
        for (auto i : can_e) {
            int u = ufs.find(e[i].u), v = ufs.find(e[i].v);
            if (u != v) ufs.merge(u, v), val += e[i].w;
        }
        ans[l] = val;
        return ufs.back(backtr);
    }
    for (int i = l; i <= r; i++) vis[q[i].k] = 1;
    contraction(l, r, can_e, val), reduction(can_e);
    for (int i = l; i <= r; i++) vis[q[i].k] = 0;
    int mid = (l + r) >> 1;
    solve(l, mid, can_e, val), solve(mid + 1, r, can_e, val);
    return ufs.back(backtr);
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m >> Q, ufs.reset(n); vector<int> tmp;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> e[i].u >> e[i].v >> e[i].w;
    for (int i = 1; i <= m; i++) tmp.emplace_back(i);
    for (int i = 1; i <= Q; i++) cin >> q[i].k >> q[i].d;
    solve(1, Q, tmp, 0ll);
    for (int i = 1; i <= Q; i++) cout << ans[i] << endl;
    return 0;
}