[程序员代码面试指南]递归和动态规划-换钱的最少货币数(DP,完全背包)
题目描述
给定arr,arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币,每种面值的货币可以使用任意张,再给定一个整数aim,求组成aim的最少货币数。
解题思路
- dp[i][j]表示只用第0到i种货币,凑成j元的最小货币张数。
- 初始化第一行
- 初始化中,无法凑成的初始化为Integer.MAX_VALUE-1否则+1会爆精度变为负数。
转移方程:
dp[i][j]=min{dp[i-1]【j-k*arr[i]】+k} (k>=0)
- 整理得
dp[i][j]=min{dp[i-1][j],min{dp[i-1]【j-k*arr[i]】+k}} (k>=1)
- 变换得
dp[i][j]=min{dp[i-1][j],min{dp[i-1]【j-(y+1)*arr[i]】+(y+1)}} (y>=0)
- 整理得
dp[i][j]=min{dp[i-1][j],min{dp[i-1]【j-arr[i]-y*arr[i]】+y+1}} (y>=0)
- 变换得最终转移方程:
dp[i][j]=min{dp[i-1][j],dp[i]【j-arr[i]】+1} (j-arr[i]>=0)
dp[i][j]=dp[i-1][j] (j-arr[i]<0)
含义上,即:用arr[0]-arr[i]的面值凑j的需要的最少张数=min{不用arr[i]凑j的最少张数,至少用一张arr[i]凑j-arr[i]的最少张数+1张}
代码采用空间压缩,使用一维的dp数组。
待做
感觉是完全背包,与经典问题中各量的对应关系思考一下。
代码
public class Solution {
public int getCoinsCount(int arr[],int aim){
int[] dp=new int[aim+1];
//initial
for(int j=0;j<=aim;++j) {
dp[j]=Integer.MAX_VALUE-1;//
}
for(int k=0;arr[0]*k<=aim;++k) {
dp[arr[0]*k]=k;
}
for(int i=1;i<arr.length;++i) {
for(int j=arr[i];j<=aim;++j) {
dp[j]=Math.min(dp[j], dp[j-arr[i]]+1);
}
}
if(dp[aim]==Integer.MAX_VALUE-1) {
return -1;
}
else {
return dp[aim];
}
}
}
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