[程序员代码面试指南]递归和动态规划-换钱的最少货币数（DP，完全背包）

题目描述

给定arr，arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim，求组成aim的最少货币数。

解题思路

• dp[i][j]表示只用第0到i种货币，凑成j元的最小货币张数。
• 初始化第一行
• 初始化中，无法凑成的初始化为Integer.MAX_VALUE-1否则+1会爆精度变为负数。

转移方程：

• dp[i][j]=min{dp[i-1]【j-k*arr[i]】+k} (k>=0)
• 整理得 dp[i][j]=min{dp[i-1][j],min{dp[i-1]【j-k*arr[i]】+k}} (k>=1)
• 变换得 dp[i][j]=min{dp[i-1][j],min{dp[i-1]【j-(y+1)*arr[i]】+(y+1)}} (y>=0)
• 整理得 dp[i][j]=min{dp[i-1][j],min{dp[i-1]【j-arr[i]-y*arr[i]】+y+1}} (y>=0)
• 变换得最终转移方程：

dp[i][j]=min{dp[i-1][j],dp[i]【j-arr[i]】+1}    (j-arr[i]>=0)
dp[i][j]=dp[i-1][j]      (j-arr[i]<0)

含义上，即：用arr[0]-arr[i]的面值凑j的需要的最少张数=min{不用arr[i]凑j的最少张数,至少用一张arr[i]凑j-arr[i]的最少张数+1张}

代码采用空间压缩，使用一维的dp数组。

待做

感觉是完全背包，与经典问题中各量的对应关系思考一下。

代码

public class Solution {
	public int getCoinsCount(int arr[],int aim){
		int[] dp=new int[aim+1];

		//initial
		for(int j=0;j<=aim;++j) {
			dp[j]=Integer.MAX_VALUE-1;//
        }
        for(int k=0;arr[0]*k<=aim;++k) {
                dp[arr[0]*k]=k;
        }

		for(int i=1;i<arr.length;++i) {
			for(int j=arr[i];j<=aim;++j) {
				dp[j]=Math.min(dp[j], dp[j-arr[i]]+1);
			}
		}

		if(dp[aim]==Integer.MAX_VALUE-1) {
			return -1;
		}
		else {
			return dp[aim];
		}
	}
}