算法（Java实现）—— 动态规划算法

动态规划算法

应用场景—0-1背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅，现有物品如下

物品	重量	价格
吉他（G）	1	1500
音响（S）	4	3000
电脑（L）	3	2000

要求：

1. 达到目标为装入的背包的总价值最大，且重量不超出

2. 要求装入的物品不可重复

动态规划算法介绍

1. 动态规划（Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，熊二一步步获取最优解的处理算法

2. 与分治算法类似，但不同的是动态规划子问题不相互独立

3. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解

解决0-1背包问题

主要思想

利用动态规划来解决，每次遍历到第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，令：

• w[i]：第i个商品的重量

• val[i]：第i个商品的价值

• C：背包容量

• v[i][j :表示前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值

则有下列结论：

v[i][0] = v[0][j] = 0;
当w[i] > j时：v[i][j] = v[i-1][j]
当j >= w[i]时：v[i][j] = max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]] + val[i]}

思路图解

背包的填表过程

1. 物品还未装入背包,初始状态

   行,0磅,1磅……代表背包容量,哪一行表示可以放入此行及 以上行的物品,但是哪一行先方哪一行的物品

   列,代表物品在对应背包容量下各自在背包中的价格

   物品	0磅	1磅	2磅	3磅	4磅
   	0	0	0	0	0
   吉他（G）	０
   音响（S）	０
   电脑（L）	０

2. 加入现在只有吉他此时不论背包容量有多大,只能放一把吉他

   物品	0磅	1磅	2磅	3磅	4磅
   	0	0	0	0	0
   吉他（G）	０	1500(G)	1500(G)	1500(G)	1500(G)
   音响（S）	０
   电脑（L）	０

3. 假如有吉他和音响,当背包容量同时满足多个物品时,考虑哪个物品价值更高将其放入

   物品	0磅	1磅	2磅	3磅	4磅
   	0	0	0	0	0
   吉他（G）	０	1500(G)	1500(G)	1500(G)	1500(G)
   音响（S）	０	1500(G)	1500(G)	1500(G)	3000(S)
   电脑（L）	０

4. 假如由吉他,音响,电脑时,先放电脑,放完之后如果有空余空间可以放入其他物品则放入,否则不用再关心

   物品	0磅	1磅	2磅	3磅	4磅
   	0	0	0	0	0
   吉他（G）	０	1500(G)	1500(G)	1500(G)	1500(G)
   音响（S）	０	1500(G)	1500(G)	1500(G)	3000(S)
   电脑（L）	０	1500(G)	1500(G)	2000(L)	2000(L) + 1500(G)

   则有下列结论：

   //表示填入的表的第一行和第一列置0
   v[i][0] = v[0][j] = 0; 
   ​
   //当新增加商品时,若新商品大于背包容量时,则直接使用上一单元格的装入策略
   当w[i] > j时：v[i][j] = v[i-1][j]
   ​
   //当新增加商品时,其容量小于背包容量,
   //装入的策略:
       //1. v[i-1][j]上一单元格的价值
       //2. v[i-1][j-w[i]] + v[i]当前商品的         价值+剩余空间装入物品价值的最大         值
       //3. 此时比较装入商品的价值,使用价值最          大的策略
   当j >= w[i]时：v[i][j] = max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]] + val[i]}

代码实现

package whyAlgorithm.dynamic;
​
import java.util.Arrays;
​
/**
 * @Description TODO 动态规划解决0-1背包问题
 * @Author why
 * @Date 2020/12/9 21:04
 * Version 1.0
 **/
public class KnapsackProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1,4,3};//物品重量
        int[] val = {1500,2000,3000};//物品价值
        int m = 4;//背包容量
        int n = val.length;//物品个数
​
        //为记录放入商品的情况，定义一个二维数组
        int[][] path = new int[n+1][m+1];
​
        //创建二维数组
        //v[i][j]表示前i个物品能够装入容量为j的背包中最大的价值
        int[][] v = new int[n+1][m+1];
​
        //初始化第一行和第一列,在本程序中可以不处理，因为默认为0
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            //将第一列置为0
            v[i][0] = 0;
            //将第一行置为0
            v[0][i] = 0;
        }
        //根据前面的公式动态规划处理
        for (int i = 1; i < v.length; i++) {//不处理第一行
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {//不出来第一列
                //公式
                //因为i从1开始，故原公式修改为 w[i] = w[i-1]
                if (w[i-1] > j){
                    v[i][j] = v[i-1][j];
                }else {
                    //int b = v[i-1][j-w[i-1]] + val[i-1];
                    //int max = Math.max(v[i - 1][j], b);
                    //v[i][j] = max;
                    //为了记录商品存放到背包的情况不能简单地使用上面的公式，需要使用if，else体现这个公式
                    if (v[i-1][j] < v[i-1][j-w[i-1]] + val[i-1]){
                        v[i][j] = v[i-1][j-w[i-1]] + val[i-1];
                        //记录当前情况
                        path[i][j] = 1;
                    }else {
                        v[i][j] = v[i-1][j];
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println("分配表：");
        for (int i = 0; i < v[0].length-1; i++) {
            System.out.println(Arrays.toString(v[i]));
        }
​
        //输出放入的哪些商品
        //遍历path，这样输出会有误，我们要最后的放入
//        for (int i = 0; i < path.length; i++) {
//            for (int j = 0; j < path[0].length; j++) {
//                if (path[i][j] == 1){
//                    System.out.printf("第%s个商品放入到背包\n",i);
//                }
//            }
//        }
​
        int i = path.length - 1;//行的最大下标
        int j = path[0].length - 1;//列的最大下标
​
        while (i > 0 && j > 0){//从path数组的最后开始找
            if (path[i][j] == 1){
                System.out.printf("第%s个商品放入到背包\n",i);
                j -= w[i-1];
            }
            i--;
        }
    }
}