【算法】深度优先搜索（dfs）

突然发现机房里有很多人不会暴搜（dfs），所以写一篇他们能听得懂的博客（大概？）

PS：万能 yuechi ———— 大法师怎么能不会呢？！

若有错误，请 dalao 指出。

前置

我知道即使很多人都知道 dfs 是用递归来实现的，但免不了还是叨叨几句：

• 要有边界（不然你要递归到猴年马月……）

• 剪枝（即使是暴搜也不至于从头莽到尾）

• 别犯 sb 错误（debug 到心累，最后发现边界写错了 = =）

大概流程

严格来说，dfs 其实也是有一套固定的流程，毕竟

万物皆可板（bushi）

1. 定义现在的状态（即搜索到了哪一个位置）

2. 枚举可能的情况（如一个数可能是 \([0,9]\)）

3. 标记枚举到的情况已被用了（如一个数已经是偶数了，那下一个数就不能是偶数（这个视情况而定））

4. 判断有无到达边界（如果到达就输出，没到就继续搜（用递归））

5. 回溯（难点，下面举例来讲）

放几个例题来讲解一下

例题一

很多算法都是建立在 dfs 上的，先放一个裸题。

题目描述

一个的 \(n \times n\) 的跳棋棋盘，有 \(n\) 个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线（包括两条主对角线的所有平行线）上至多有一个棋子。

数据范围：\(n \in [6, 13]\) 。

分析

八皇后的题目我相信大家也不陌生，积护所有 dfs 入门的人都做过，但我还是来分析一下吧。

看过数据范围，就能确认眼神：一道 dfs 能做的题。

首先，很容易就能知道： \(n\) 个棋子一定是在不同行，不同列的，这是可以构成限制的。

要求每条对角线上只能有一个棋子，这不仅是限制，也是该题的难点所在，如果要优化可以从这里入手。

既然是搜（暴搜），那么就可以从第一行开始，到达最后一行结束（边界）。

代码实现

从第一行开始枚举行数，同时也枚举列数，并且记录下棋子放下的位置导致出现的限制。

变量	意义
a	存储答案
b1	判断一个位置是否能放棋子
b2	判断这个数有无被用（貌似没用）
t	搜到的当前的行数

函数	意义
fread	快读
bj	标记位置不能用
hy	标记位置能用
print	搜完输出答案
search	dfs

/**
*
author：Eiffel_A
*/
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#define MAXN 100001
#define Mod 998244353
//-------------定义变量-------------
int n, s = 0;
int a[14], b1[14][14], b2[14];
//------------定义结构体------------

//-------------定义函数-------------
int fread() {
	int x = 0, f = 0; char ch = getchar();
	while (!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
void bj(int x, int y) { // 一个棋子放下后将对角线标记为不可用
	for (int j = 1; j <= n; ++j) {
		if (x + j >= 1 && x + j <= n && y + j >= 1 && y + j <= n && b1[x + j][y + j] == 0)
			b1[x + j][y + j] = x;
		if (x + j >= 1 && x + j <= n && y - j >= 1 && y - j <= n && b1[x + j][y - j] == 0)
			b1[x + j][y - j] = x;
	}
}
void hy(int x, int y) { // 将棋子回溯到未放下时将对角线标记为可用
	for (int j = 1; j <= n; ++j) {
		if (x + j >= 1 && x + j <= n && y + j >= 1 && y + j <= n && b1[x + j][y + j] == x)
			b1[x + j][y + j] = 0;
		if (x + j >= 1 && x + j <= n && y - j >= 1 && y - j <= n && b1[x + j][y - j] == x)
			b1[x + j][y - j] = 0;
	}
}
void print() { // 到达边界后输出
	s++;
	if (s <= 3) {
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			printf("%d ",a[i]);
		printf("\n");
	}
}
int search(int t) { // dfs
	for (int i = 1; i <= n; ++i) // 枚举列数
		if (!b2[i] && !b1[t][i]) { // 如果这一列还没有棋子且不在任何一条已放棋子的对角线上
			a[t] = i; b2[i] = t; // 记录棋子位置，标记这列已用
			bj(t, i); // 标记对角线已用
			if (t == n) print(); // 如果到了最后一行，就输出
			else search(t + 1); // 否则继续搜下一行
			b2[i] = 0; // 回溯，这列还没用
			hy(t, i); // 回溯，这个对角线还没用
		}
}
//--------------主函数--------------
int main() {
	n = fread();
	search(1);
	printf("%d", s);
	return 0;
}

请不要在意我难看的马蜂和奇怪的变量名……

解释回溯

让我们想象一下：

当判断是否搜到边界时，

如果到了，则输出，然后回到 dfs 函数里；

但这时候仅仅只是找到了一种可行的摆放方法，还有许多方法还没开始搜，

所以我们要假装这个位置没有放过棋子，即退回放这个棋子之前，这样才能将这一列空出来，以便在其他行在这一列放棋子，找到更多的情况。

若没到边界，则又会进入新的一行，一直到到达边界为止，剩下的就与上一种情况一致了。

如果到现在还是没懂的话，那我举个栗子：

假如你正在走迷宫：emmmm 这个（我手画的……）

你走到了终点：这样（橡皮开路）

但是你的要求是找出所有能到达终点的路，仅仅只有一条是不够的，

所以你得退回去：

（当然也可以退到其他地方）

这样你就可以找另一条道路：

所以回溯大概就是这么一个过程~~

dfs (\(t\)) 每一层 dfs 可以用变量 \(t\) 来标记，可以把 \(t\) 看做是下标（反正我这么理解）

如果 \(t == 1\) 就说明这一层 dfs 是在 \(1\) 这个点的,以此类推。

这样回溯就会很好理解啦~~

优化

这个代码是我刚刚学 dfs 时写的，只不过又被我扒了出来改了改马蜂罢了……

如果你像我这份代码这样判断一条对角线有无占用，那么当你把代码交上去后，你就会惊喜地发现：

你 T 啦~~

大概是反复调用标记和回溯函数的问题……

所以要优化的说~~

然后经过我深（cha）思（kan）熟（ti）虑（jie）后发现了一个好方法：

我们可以再开一个 \(c\) 数组和一个 \(d\) 数组，然后把 \(b1\) 和 \(b2\) 数组去掉，改成 \(b\) 数组 。

众所周知，如果一个点的坐标是 \((x,y)\) 且独一无二，那么 \(x + y\) 和 \(x - y + n\) （\(n\) 是总行数）就是独一无二的。

这样就可以表达出对角线啦~~~

int search(int t) {
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		if (!b[i] && !c[t + i] && !d[t - i + n]) {
			a[t] = i; b[i] = 1;
			c[t + i] = 1; d[t - i + n] = 1;
			if (t == n) print();
			else search(t + 1);
			b[i] = 0;
			c[t + i] = 0; d[t - i + n] = 0;
		}
}

例题二

题目描述

将整数 \(n\) 分成 \(k\) 份，且每份不能为空，任意两个方案不相同(不考虑顺序)。

例如：\(n=7\)，\(k=3\)，下面三种分法被认为是相同的。

\(1,1,5\) 或 \(1,5,1\) 或 \(5,1,1\)

问有多少种不同的分法。

数据范围：\(n\in (6,200]\)，\(k\in [2,6]\)

分析

几乎与上一题一样，无非只是把条件和枚举的东西变了一下而已 = =

PS：下面的代码是错的，而且还删了几个头文件（貌似 pd 函数写错了，不过这不重要）

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
//------------定义结构体------------ 

//-------------定义变量-------------
int n, k, s, v = 0, w = 0;
int a[10], b[10];
map<int,int> hh;
//-------------定义函数-------------
bool pd() { // 错的
	w = 0; memcpy(b, a, sizeof(a));
	sort(b, b + 10);
	for (int j = 9; j >= 10 - k; --j)
		w *= 10, w += b[j];
	if (!hh[w]) v++, hh[w] = 1;
}
int search(int t) {
	if (t == k && s) a[t] = s, pd(); // 判断到边界后是否满足条件，若满足，则输出
	else {
		for (int i = a[t - 1]; i <= n; ++i) { // 保证下一个数大于等于上一个数，防止重复
			if (!i) continue; // 如果 i 为零，则不算入答案
			if (i < s) { // 保证各数字之和不大于 n
				a[t] = i; // 记录 i
				s -= a[t]; // 减去加数
				search(t + 1); // 继续搜
				s += a[t]; // 回溯，假装没用过这个加数
			}
		}
	}
}
//--------------主函数--------------
int main() {
	cin >> n >> k;
	s = n;
	search(1);
	printf("%d", v);
	return 0;
}

依旧是很久以前写的代码，被我扒拉出来改改马蜂贴了上来……

Q：为什么把错的代码放了上来？

A：是因为我 懒得改 只想让你们了解思路就行了

优化

经查实，如果你按照这个思路（即 pd 函数写对）交了上去

你会惊喜得发现：

你又 T 啦~~

这时候就又需要优化剪枝了，我们可以这样想：

• 既然是求 \(k\) 个数，又知道这 \(k\) 个数的和，那么只需要求 \(k - 1\) 个数，最后一个数减出来就好辣。

• 直接减出来了数，就不用判断所有数加起来是否等于 \(n\) 。

• 只需要判断减出来的数是否大于之前的数（判重）。

这下正解代码就出来啦~~

int search(int t) {
	if (t == k && s >= a[t - 1]) ++v;
	if (t != k)
		for (int i = a[t - 1]; i <= n; ++i) {
			if (!i) continue;
			if (i < s) {
				a[t] = i;
				s -= a[t];
				search(t + 1);
				s += a[t];
			}
		}
}

后言

我相信两道例题已经足够讲明白了，就不举第三个例子了 （其实只是我不想写了而已）

祝所有人 noip2020 rp++

练习题

1. 洛谷 八皇后 Checker Challenge（例题一）

2. 洛谷 数的划分（例题二）

3. 一堆 慢慢刷