收集邮票 (概率dp)

收集邮票 (概率dp)

题目描述

有 \(n\) 种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是 \(n\) 种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为 \(\frac{1}{n}\) 。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第 \(k\) 张邮票需要支付 \(k\) 元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入格式

一行,一个数字 \(N,N\leqslant 10000\)

输出格式

要付出多少钱. 保留二位小数

样例

样例输入

3

样例输出

21.25

数据范围与提示

\(N\leqslant 10000\)

分析

按照概率 \(dp\) 的套路，我们反向定义方程，反着推，定义 \(f[i]\) 为已经有了 \(i\) 种，还需要买几次。 \(g[i]\) 为已经有了 \(i\) 种，还需要多少钱。

因为当前已经有了 \(i\) 种了，每种选的可能性相同，所以这一次选重复的概率为 \(\frac{i}{n}\) ，此时的次数就是 \(f[i] + 1\) ，因为当前拿了一个重复的，所以还要多拿一次，所以加一。

不重复的概率就是 \(\frac{n-i}{n}\)，次数就是 \(f[i+1] + 1\)，因为没拿重复的，所以是拿了 \(i+1\) 种的步数加一。那么 \(f[i]\) 的转移就是：

\[f[i] = (f[i] + 1) \times \frac{i}{n} + (f[i+1] + 1) \times \frac{n-i}{n}
\]

化简一下就是：

\[f[i] = f[i+1] \times \frac{n}{n-i}
\]

接下来考虑钱数的转移，每一次增加的价格就是取的次数，而拿重复的概率是 \(\frac{i}{n}\)，所以这部分就是 \((g[i]+f[i]+1)\times \frac{i}{n}\)。

其次就是没有重复，那么这部分就是 \((g[i+1]+f[i+1]+1)\times \frac{n-i}{n}\)

所以总的就是 :

\[g[i] = (g[i]+f[i]+1)\times \frac{i}{n} + (g[i+1]+f[i+1]+1)\times \frac{n-i}{n}
\]

化简完就是：

\[g[i] = \frac{i}{n-i}\times f[i] + g[i+1] + f[i+1] + \frac{n}{n-i}
\]

然后倒着枚举，转移就很简单了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int L = 1 << 20;
char buffer[L],*S,*T;
#define getchar() (S == T &&(T = (S = buffer) + fread(buffer,1,L,stdin),S == T) ? EOF : *S++)
const int maxn = 1e5 + 10;
double f[maxn],g[maxn];
inline int read(){
	int s = 0,f = 1;
	char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch == '-')f = -1;
		ch = getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		s = s * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	return s * f;
}
int main(){
	freopen("D.in","r",stdin);
	freopen("D.out","w",stdout);
	int n = read();
	for(int i = n - 1; ~i ; --i){
		f[i] = f[i+1] + (1.0 * n) / (1.0 * (n - i));
		g[i] = (1.0 * i) / (1.0 * (n - i)) * (f[i] + 1) + g[i+1] + f[i+1] + 1;
	}
	printf("%.2lf",g[0]);
	return 0;
}