P4234 最小差值生成树 LCT维护边权

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

给定一个标号为从 \(1\) 到 \(n\) 的、有 \(m\) 条边的无向图，求边权最大值与最小值的差值最小的生成树。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

第一行两个数 \(n, m\)，表示图的点和边的数量。

第二行起 mm 行，每行形如 u_i, v_i, w_iui,vi,wi，代表 u_iui 到 v_ivi 间有一条长为 w_iwi 的无向边。

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

输出一行一个整数，代表你的答案。

数据保证存在至少一棵生成树。

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

4 6
1 2 10
1 3 100
1 4 90
2 3 20
2 4 80
3 4 40

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

20

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

对于 30% 的数据，满足 \(1 \leq n \leq 100, 1 \leq m \leq 1000\)

对于 97% 的数据，满足 \(1 \leq n \leq 500, 1 \leq m \leq 100000\)

对于 100% 的数据，满足 \(1 \leq n \leq 50000, 1 \leq m \leq 200000, 1 \leq w_i \leq 10000\)

\(\color{#0066ff}{题解}\)

把所有边从大到小排个序，依次加入LCT，LCT上维护边权（拆成点）

如果不成环，直接加入边，用一个变量维护LCT上的边数

如果成环了，那么显然把最大的换下来更优

用multiset维护最大最小值，每次只要是生成树就更新

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
	char ch; LL x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
const int maxn = 5e5 + 10;
const int inf = 0x7fffffff;
struct node {
	node *ch[2], *fa;
	int max, val, rev;
	node(int max = 0, int val = 0, int rev = 0): max(max), val(val), rev(rev) { ch[0] = ch[1] = fa = NULL; }
	void trn() { std::swap(ch[0], ch[1]), rev ^= 1; }
	void dwn() {
		if(!rev) return;
		if(ch[0]) ch[0]->trn();
		if(ch[1]) ch[1]->trn();
		rev = 0;
	}
	void upd() {
		max = val;
		if(ch[0]) max = std::max(max, ch[0]->max);
		if(ch[1]) max = std::max(max, ch[1]->max);
	}
	bool ntr() { return fa && (fa->ch[0] == this || fa->ch[1] == this); }
	bool isr() { return fa->ch[1] == this; }
	void clr() {
		if(ch[0]) ch[0]->fa = NULL;
		if(ch[1]) ch[1]->fa = NULL;
		ch[0] = ch[1] = NULL;
	}
}pool[maxn];
struct EDGE {
	int x, y, z;
	friend bool operator < (const EDGE &a, const EDGE &b) { return a.z > b.z; }
}e[maxn];
int ans = inf, num;
std::multiset<int> s;
int n, m;
void rot(node *x) {
	node *y = x->fa, *z = y->fa;
	bool k = x->isr(); node *w = x->ch[!k];
	if(y->ntr()) z->ch[y->isr()] = x;
	(x->ch[!k] = y)->ch[k] = w;
	(y->fa = x)->fa = z;
	if(w) w->fa = y;
	y->upd(), x->upd();
}
void splay(node *o) {
	static node *st[maxn];
	int top;
	st[top = 1] = o;
	while(st[top]->ntr()) st[top + 1] = st[top]->fa, top++;
	while(top) st[top--]->dwn();
	while(o->ntr()) {
		if(o->fa->ntr()) rot(o->isr() ^ o->fa->isr()? o : o->fa);
		rot(o);
	}
}
node *find(node *o) {
	while(o->dwn(), o->max != o->val) {
		if(o->ch[0] && o->ch[0]->max == o->max) o = o->ch[0];
		else o = o->ch[1];
	}
	return o;
}
void access(node *x) {
	for(node *y = NULL; x; x = (y = x)->fa)
		splay(x), x->ch[1] = y, x->upd();
}
void makeroot(node *x) { access(x), splay(x), x->trn(); }
node *findroot(node *o) {
	access(o), splay(o);
	while(o->dwn(), o->ch[0]) o = o->ch[0];
	return o;
}
void link(node *x, node *y) { makeroot(x), x->fa = y; }
void add(node *x, node *y, node *o) {
	if(findroot(x) == findroot(y)) {
		makeroot(x), access(y), splay(y);
		num--;
	    node *p = find(y);
       	s.erase(s.find(p->max));
		splay(p);
		p->clr(), p->upd();
	}
	num++;
	s.insert(o->val);
	if(num == n - 1 && num) {
    	std::multiset<int>::iterator be = s.begin(), ed = s.end();
		ed--;
		ans = std::min(ans, *ed - *be);
	}
	link(x, o), link(y, o);
}
int main() {
	n = in(), m = in();
	for(int i = 1; i <= m; i++) e[i].x = in(), e[i].y = in(), e[i].z = in();
	std::sort(e + 1, e + m + 1);
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		if(e[i].x == e[i].y) continue;
		pool[n + i].val = e[i].z;
		pool[n + i].upd();
		add(pool + e[i].x, pool + e[i].y, pool + n + i);
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}