【bzoj2957】【楼房重建】另类的线段树（浅尝ACM-H）

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向大(hei)佬(e)势力学(di)习(tou)

Description

　　小A的楼房外有一大片施工工地，工地上有N栋待建的楼房。每天，这片工地上的房子拆了又建、建了又拆。他经常无聊地看着窗外发呆，数自己能够看到多少栋房子。

　　为了简化问题，我们考虑这些事件发生在一个二维平面上。小A在平面上(0,0)点的位置，第i栋楼房可以用一条连接(i,0)和(i,Hi)的线段表示，其中Hi为第i栋楼房的高度。如果这栋楼房上任何一个高度大于0的点与(0,0)的连线没有与之前的线段相交，那么这栋楼房就被认为是可见的。

　　施工队的建造总共进行了M天。初始时，所有楼房都还没有开始建造，它们的高度均为0。在第i天，建筑队将会将横坐标为Xi的房屋的高度变为Yi(高度可以比原来大—修建，也可以比原来小—拆除，甚至可以保持不变—建筑队这天什么事也没做)。请你帮小A数数每天在建筑队完工之后，他能看到多少栋楼房？

Input

　　第一行两个正整数N,M

　　接下来M行，每行两个正整数Xi,Yi

Output

　　M行，第i行一个整数表示第i天过后小A能看到的楼房有多少栋

Sample Input

3 4

2 4

3 6

1 1000000000

1 1

Sample Output

1

1

1

2

数据约定

　　对于所有的数据1<=Xi<=N，1<=Yi<=10^9

N,M<=100000

HINT

Source

中国国家队清华集训 2012-2013 第一天

下意识的想到暴力的做法，但一看数据范围就方了。没有思路的情况下可以从数据分析入手。10^5，数据结构的大小。然而什么数据结构可以维护这样的数据呢？已学的知识里面都好像不能，那就需要新思路了

其实这是一个另类的线段树

首先要明确的是此题要求的是与（0,0）点的斜率递增，而不是高度，为了偷懒，以下的高度均指斜率

我们每次update的时候需重新统计该段的可被见的楼房数量。显然不是简单的子树相加。我们需要进行如下讨论：

(明确：h该区间的最高高度，sum该区间的可见数）

1、ls->h >= rs->h ，直接返回 ls->sum；

2、ls->h < rs->h，左子树的可见楼房都可见，而右子树就还需要求，在此新引入一个函数query( rs , ls->h )查询右子树中高度大于ls->h的可见数

针对query（Node *nd , int maxh）函数：

1、如果 ls->h <= maxh ，那么左子树的楼房都不可见，继续query（nd->rs , maxh）：

2、如果 ls->h > maxh，说明左子树的部分楼房可见，我们要继续查询左子树。那右子树呢? nd->sum - nd->ls->sum 即是。

下面详细讲一下为什么右子树的可见数为 nd->sum - nd->ls->sum

1、为什么不可以调用query（rs ，…）。如果每次都两部分都查找下去的话，很显然，这和直接暴力for一边统计没什么两样，甚至更慢。我们使用数据结构是希望把复杂度降到 log ，只query一次就可以保证查询次数是线段树的深度——logN

2、为什么就是nd->sum - nd->ls->sum。因为我们现在查询到的已经在之前update过了，sum是可以保证正确的。该区间可见数sum减去左子树区间的sum，可得出比左子树的h高的右子树的楼房数量。这个地方maxh都小于ls->h了，nd->sum - nd->ls->sum 自然是右子树可见数。

复杂度o（M*log^2 N）

代码

因为把le，ri传错了，wa了好久

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=100000+5;

int n,m;
struct Node{
    Node *ls,*rs;
    int sum;
    double h;
}*root,*null,pool[2*N],*tail=pool;

Node *newnode(){
    Node *rt=++tail;
    rt->ls=rt->rs=null;
    rt->sum=rt->h=0;
    return rt;
}
Node *build(int le,int ri){
    Node *rt=newnode();
    if(le==ri){
        return rt;
    }
    int mid=(le+ri)>>1;
    rt->ls=build(le,mid);
    rt->rs=build(mid+1,ri);
    return rt;
}
int query(Node *nd,double val,int le,int ri){
    if(le==ri) return nd->h <= val ? 0 : 1 ;
    int mid=(le+ri)>>1;
    if(nd->ls->h <= val) return query(nd->rs,val,mid+1,ri);
    else return query(nd->ls,val,le,mid) + nd->sum - nd->ls->sum ;
}
int update(Node *nd,int le,int ri){
    if(nd->ls->h >= nd->rs->h) return nd->ls->sum;
    else return  nd->ls->sum+query(nd->rs,nd->ls->h,(le+ri)>>1+1,ri);//就在这里wa的
}
void modify(Node *nd,int le,int ri,int x,double val){
    if(le==ri&&le==x){
        nd->h=val;
        nd->sum= val>0 ? 1 : 0;
        return ;
    }
    int mid=(le+ri)>>1;
    if(x<=mid) modify(nd->ls,le,mid,x,val);
    else modify(nd->rs,mid+1,ri,x,val);
    nd->sum=update(nd,le,ri);
    nd->h=max(nd->ls->h,nd->rs->h);
    return ;
}
int main(){
    null=++tail;
    null->ls=null->rs=null;
    null->sum=null->h=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    root=build(1,n);
    int x,y;
    while(m--){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        modify(root,1,n,x,(double)y/(double)x);
        printf("%d\n",root->sum);
    }
    return 0;
}

总结：

1、线段树可以维护的不只是区间和一类的东西，它还可以有各种各样神奇的灵活的变式。这次算是开阔眼界，长知识了。

2、对线段树降低复杂度的原理有了更深刻的认识。