[BZOJ1038][ZJOI2008]瞭望塔(半平面交)

1038: [ZJOI2008]瞭望塔

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Description

　　致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。我们
将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示 我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描
述H村的形状，这里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置, 但必须满足从瞭望塔的顶端可
以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长
希望建造的塔高度尽可能小。请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

Input

　　第一行包含一个整数n，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数，为y1
 ~ yn。

Output

　　仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

Sample Input

【输入样例一】
6
1 2 4 5 6 7
1 2 2 4 2 1
【输入样例二】
4
10 20 49 59
0 10 10 0

Sample Output

【输出样例一】
1.000
【输出样例二】
14.500

HINT

N ≤ 300，输入坐标绝对值不超过106，注意考虑实数误差带来的问题。

Source

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这题做的真是。。心力交瘁。。其实就是一个半平面交，然而我发现自己实际上完全不会这个东西。

据说模拟退火和三分都可以做，但是考虑将每条边的上半部分求交，最后这个凸包上的点和原折线的这点才可能是答案。

证明应该是分段一次函数的极致只可能出现在端点上。

剩下的就是一系列半平面交模板的问题了，写了一个先将两点式转成点斜式直线方程再求交的函数，WA，发现点斜式根本不能处理与y轴平行的直线。

然后又看了以前模板中的定比分点叉积求交的函数，WA，发现这个只能求线段交点。

https://blog.csdn.net/u013050857/article/details/40923789

最后极不情愿地写了将式子化到底的做法，感觉这个函数根本背不下来。

不过幸好发现了这个问题，否则考场上要是写了就会很惨。

 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 typedef double db;
 using namespace std;

 const int N=;
 const double eps=1e-;
 int n,tot,cnt;
 db ans=1e60;
 struct P{ db x,y; }p[N],a[N];
 struct L{ P a,b; db sl; }l[N],q[N],tmp[N];

 double dmult(P a,P b,P c){ return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y); }
 bool operator <(const L &a,const L &b){ return (a.sl!=b.sl) ? a.sl<b.sl : dmult(a.a,a.b,b.b)<-eps; }

 P inter(L a,L b){
     double A1=a.b.y-a.a.y,B1=a.a.x-a.b.x,C1=-B1*a.a.y-A1*a.a.x;
     double A2=b.b.y-b.a.y,B2=b.a.x-b.b.x,C2=-B2*b.a.y-A2*b.a.x;
     return (P){(C1*B2-C2*B1)/(B1*A2-B2*A1),(C1*A2-C2*A1)/(A1*B2-A2*B1)};
 }
 bool jud(L a,L b,L c){ P t=inter(a,b); return dmult(c.a,c.b,t)<-eps; }

 void work(){
     tmp[++tot]=l[];
     rep(i,,cnt) if (fabs(l[i].sl-l[i-].sl)>eps) tmp[++tot]=l[i];
     rep(i,,tot) l[i]=tmp[i];
     int L=,R=; q[++R]=l[]; q[++R]=l[];
     rep(i,,tot){
         while (L<R && jud(q[R-],q[R],l[i])) R--;
         while (L<R && jud(q[L+],q[L],l[i])) L++;
         q[++R]=l[i];
     }
     while (L<R && jud(q[R-],q[R],q[L])) R--;
     while (L<R && jud(q[L+],q[L],q[R])) L++;
     tot=; rep(i,L,R-) p[++tot]=inter(q[i],q[i+]);
 }

 void getans(){
     rep(k,,tot)
         rep(i,,n-){
             P t=(P){p[k].x,-};
             if (p[k].x>=a[i].x && p[k].x<=a[i+].x)
                 ans=min(ans,p[k].y-inter((L){a[i],a[i+]},(L){t,p[k]}).y);
         }
     rep(k,,n)
         rep(i,,tot-){
             P t=(P){a[k].x,-};
             if (a[k].x>=p[i].x && a[k].x<=p[i+].x)
                 ans=min(ans,inter((L){p[i],p[i+]},(L){t,a[k]}).y-a[k].y);
         }
 }

 int main(){
     scanf("%d",&n);
     rep(i,,n) scanf("%lf",&a[i].x);
     rep(i,,n) scanf("%lf",&a[i].y);
     a[]=(P){a[].x,}; a[n+]=(P){a[n].x,};
     rep(i,,n) l[++cnt]=(L){a[i],a[i+],atan2(a[i+].y-a[i].y,a[i+].x-a[i].x)};
     sort(l+,l+cnt+); work(); getans(); printf("%.3lf\n",ans);
     return ;
 }

UPD:感觉自己十分愚蠢，与y轴平行的直线判一下不就好了。

 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 #define A double k2=(b.b.y-b.a.y)/(b.b.x-b.a.x),b2=b.a.y-k2*b.a.x
 #define B double k1=(a.b.y-a.a.y)/(a.b.x-a.a.x),b1=a.a.y-k1*a.a.x
 typedef double db;
 using namespace std;

 const int N=;
 const double eps=1e-;
 int n,tot,cnt;
 db ans=1e60;
 struct P{ db x,y; }p[N],a[N];
 struct L{ P a,b; db sl; }l[N],q[N],tmp[N];

 double dmult(P a,P b,P c){ return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y); }
 bool operator <(const L &a,const L &b){ return (a.sl!=b.sl) ? a.sl<b.sl : dmult(a.a,a.b,b.b)<-eps; }

 P inter(L a,L b){
     if (a.a.x==a.b.x){ A; return (P){a.a.x,k2*a.a.x+b2}; }
     if (b.a.x==b.b.x){ B; return (P){b.a.x,k1*b.a.x+b1}; }
     A; B; double x=(b2-b1)/(k1-k2),y=k1*x+b1;
     return (P){x,y};
 }

 bool jud(L a,L b,L c){ P t=inter(a,b); return dmult(c.a,c.b,t)<-eps; }

 void work(){
     tmp[++tot]=l[];
     rep(i,,cnt) if (fabs(l[i].sl-l[i-].sl)>eps) tmp[++tot]=l[i];
     rep(i,,tot) l[i]=tmp[i];
     int L=,R=; q[++R]=l[]; q[++R]=l[];
     rep(i,,tot){
         while (L<R && jud(q[R-],q[R],l[i])) R--;
         while (L<R && jud(q[L+],q[L],l[i])) L++;
         q[++R]=l[i];
     }
     while (L<R && jud(q[R-],q[R],q[L])) R--;
     while (L<R && jud(q[L+],q[L],q[R])) L++;
     tot=; rep(i,L,R-) p[++tot]=inter(q[i],q[i+]);
 }

 void getans(){
     rep(k,,tot)
         rep(i,,n-){
             P t=(P){p[k].x,-};
             if (p[k].x>=a[i].x && p[k].x<=a[i+].x)
                 ans=min(ans,p[k].y-inter((L){a[i],a[i+]},(L){t,p[k]}).y);
         }
     rep(k,,n)
         rep(i,,tot-){
             P t=(P){a[k].x,-};
             if (a[k].x>=p[i].x && a[k].x<=p[i+].x)
                 ans=min(ans,inter((L){p[i],p[i+]},(L){t,a[k]}).y-a[k].y);
         }
 }

 int main(){
     freopen("tower.in","r",stdin);
     freopen("tower.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     rep(i,,n) scanf("%lf",&a[i].x);
     rep(i,,n) scanf("%lf",&a[i].y);
     a[]=(P){a[].x,}; a[n+]=(P){a[n].x,};
     rep(i,,n) l[++cnt]=(L){a[i],a[i+],atan2(a[i+].y-a[i].y,a[i+].x-a[i].x)};
     sort(l+,l+cnt+); work(); getans(); printf("%.3lf\n",ans);
     return ;
 }