指数型生成函数（EGF）学习笔记

之前，我们学习过如何使用生成函数来做一些组合问题（比如背包问题），但是它面对排列问题（有标号）的时候就束手无策了。

究其原因，是因为排列问题的递推式有一些系数（这个待会就知道了），所以我们可以修改一下生成函数的式子。

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对于数列$\{a_n\}$，它的指数型生成函数（EGF）为

$$F^{(e)}(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_i*\frac{x^i}{i!}$$

至于为什么叫指数形式呢？是因为当$a_n=1$时，$F^{(e)}(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{i!}=e^x$

而且对于其他更复杂的EGF也都可以用$e^x$表示出来。

然后我们看看EGF如何做计数问题。

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例题1：对于一个长为$n-2$的序列，元素为$[1,n]$中的整数，且出现次数最多的元素出现$m-1$次，求不同的序列个数。

数据范围：$n,m\leq 5*10^4$

这道题可以先转化为出现次数$\leq m-1$减去出现次数$\leq m-2$。

我们假设$i$在这个序列中出现了$a_i$次。

则答案为$\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^na_i!}$，其中$a_i<m,\sum_{i=1}^na_i=n-2$

所以我们构造

$$F(x)=\sum_{i=0}^{m-1}\frac{x^i}{i!}$$

$$Ans=(n-2)![x^{n-2}]F^n(x)$$

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例题2：对于$n$个节点的有标号无根树，每个节点的度数的最大值为$m$，求这样的树的个数。

首先你要知道一个东西叫$prufer$序列，如果想学的可以自行百度，如果不想学的只需知道一下几点。

1.$n$个节点的有标号无根树与长为$n-2$的，元素为$[1,n]$之间整数的序列有一一对应的关系。

2.这个序列中，$i$这个数出现次数$a_i=d_i-1$其中$d_i$为$i$的度数

然后你就知道它和例题2是一样的了。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define Rint register int
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N = , mod = , G = , Gi = ;
 int n, m, fac[N], inv[N], F[N];
 inline int add(int a, int b){int x = a + b; if(x >= mod) x -= mod; return x;}
 inline int dec(int a, int b){int x = a - b; if(x < ) x += mod; return x;}
 inline int mul(int a, int b){return (LL) a * b - (LL) a * b / mod * mod;}
 inline int kasumi(int a, int b){
     int res = ;
     while(b){
         if(b & ) res = mul(res, a);
         a = mul(a, a);
         b >>= ;
     }
     return res;
 }
 int rev[N];
 inline void NTT(int *A, int limit, int type){
     for(Rint i = ;i < limit;i ++)
         if(i < rev[i]) swap(A[i], A[rev[i]]);
     for(Rint mid = ;mid < limit;mid <<= ){
         int Wn = kasumi(type ==  ? G : Gi, (mod - ) / (mid << ));
         for(Rint j = ;j < limit;j += mid << ){
             int w = ;
             for(Rint k = ;k < mid;k ++, w = mul(w, Wn)){
                 int x = A[j + k], y = mul(A[j + k + mid], w);
                 A[j + k] = add(x, y);
                 A[j + k + mid] = dec(x, y);
             }
         }
     }
     if(type == -){
         int inv = kasumi(limit, mod - );
         for(Rint i = ;i < limit;i ++)
             A[i] = mul(A[i], inv);
     }
 }
 int ans[N];
 inline void poly_inv(int *A, int deg){
     static int tmp[N];
     if(deg == ){
         ans[] = kasumi(A[], mod - );
         return;
     }
     poly_inv(A, deg +  >> );
     int limit = , L = -;
     while(limit <= (deg << )){limit <<= ; L ++;}
     for(Rint i = ;i < limit;i ++)
         rev[i] = (rev[i >> ] >> ) | ((i & ) << L);
     for(Rint i = ;i < deg;i ++) tmp[i] = A[i];
     for(Rint i = deg;i < limit;i ++) tmp[i] = ;
     NTT(tmp, limit, ); NTT(ans, limit, );
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) ans[i] = mul(dec(, mul(ans[i], tmp[i])), ans[i]);
     NTT(ans, limit, -);
     for(Rint i = deg;i < limit;i ++) ans[i] = ;
 }
 int Ln[N];
 inline void poly_Ln(int *A, int deg){
     static int tmp[N];
     poly_inv(A, deg);
     for(Rint i = ;i < deg;i ++) tmp[i - ] = mul(i, A[i]);
     tmp[deg - ] = ;
     int limit = , L = -;
     while(limit <= (deg << )){limit <<= ; L ++;}
     for(Rint i = ;i < limit;i ++)
         rev[i] = (rev[i >> ] >> ) | ((i & ) << L);
     NTT(tmp, limit, ); NTT(ans, limit, );
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) Ln[i] = mul(tmp[i], ans[i]);
     NTT(Ln, limit, -);
     for(Rint i = deg + ;i < limit;i ++) Ln[i] = ;
     for(Rint i = deg;i;i --) Ln[i] = mul(Ln[i - ], kasumi(i, mod - ));
     Ln[] = ;
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) tmp[i] = ans[i] = ;
 }
 int Exp[N];
 inline void poly_Exp(int *A, int deg){
     if(deg == ){
         Exp[] = ;
         return;
     }
     poly_Exp(A, deg +  >> );
     poly_Ln(Exp, deg);
     int limit = , L = -;
     while(limit <= (deg << )){limit <<= ; L ++;}
     for(Rint i = ;i < limit;i ++)
         rev[i] = (rev[i >> ] >> ) | ((i & ) << L);
     for(Rint i = ;i < deg;i ++) Ln[i] = dec(A[i] + (i == ), Ln[i]);
     NTT(Ln, limit, ); NTT(Exp, limit, );
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) Exp[i] = mul(Exp[i], Ln[i]);
     NTT(Exp, limit, -);
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) Ln[i] = ans[i] = ;
     for(Rint i = deg;i < limit;i ++) Exp[i] = ;
 }
 inline void init(int m){
     fac[] = fac[] = ;
     for(Rint i = ;i <= m;i ++) fac[i] = mul(i, fac[i - ]);
     inv[] = ; inv[] = ;
     for(Rint i = ;i <= m;i ++) inv[i] = mul(inv[mod % i], mod - mod / i);
     inv[] = ;
     for(Rint i = ;i <= m;i ++) inv[i] = mul(inv[i], inv[i - ]);
 }
 inline int solve(int m){
     memset(Exp, , sizeof Exp);
     for(Rint i = ;i < m;i ++) F[i] = inv[i];
     for(Rint i = m;i < n;i ++) F[i] = ;
     poly_Ln(F, n);
     for(Rint i = ;i < n;i ++) F[i] = mul(Ln[i], n), Ln[i] = ;
     poly_Exp(F, n);
     return mul(fac[n - ], Exp[n - ]);
 }
 int main(){
     scanf("%d%d", &n, &m);
     init(n);
     printf("%d", dec(solve(m), solve(m - )));
 }

---

我们从上面这道题可以看出，其实就是去标号的思想，转化为组合问题，然后就可以用生成函数了。

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例题3：求$n$个点的有标号无向连通图的个数

我们假设$n$个点的有标号无向图个数$/n!$为$g_n$，答案$/n!$为$f_n$

设这个无向图中有$k$个联通块，因为这$k$个联通块无标号，所以

$$G=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{F^k}{k!}=e^F$$

所以

$$F=\ln G$$

没了？没了。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define Rint register int
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N = , mod = , g = , gi = ;
 inline int kasumi(int a, int b){
     int res = ;
     while(b){
         if(b & ) res = (LL) res * a % mod;
         a = (LL) a * a % mod;
         b >>= ;
     }
     return res;
 }
 int rev[N];
 inline void NTT(int *A, int limit, int type){
     for(Rint i = ;i < limit;i ++)
         if(i < rev[i]) swap(A[i], A[rev[i]]);
     for(Rint mid = ;mid < limit;mid <<= ){
         int Wn = kasumi(type ==  ? g : gi, (mod - ) / (mid << ));
         for(Rint j = ;j < limit;j += mid << ){
             int w = ;
             for(Rint k = ;k < mid;k ++, w = (LL) w * Wn % mod){
                 int x = A[j + k], y = (LL) w * A[j + k + mid] % mod;
                 A[j + k] = (x + y) % mod;
                 A[j + k + mid] = (x - y + mod) % mod;
             }
         }
     }
     if(type == -){
         int inv = kasumi(limit, mod - );
         for(Rint i = ;i < limit;i ++)
             A[i] = (LL) A[i] * inv % mod;
     }
 }
 int ans[N];
 inline void poly_inv(int *A, int deg){
     static int tmp[N];
     if(deg == ){
         ans[] = kasumi(A[], mod - );
         return;
     }
     poly_inv(A, deg +  >> );
     int limit = , L = -;
     while(limit <= (deg << )){limit <<= ; L ++;}
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) rev[i] = (rev[i >> ] >> ) | ((i & ) << L);
     for(Rint i = ;i < deg;i ++) tmp[i] = A[i];
     for(Rint i = deg;i < limit;i ++) tmp[i] = ;
     NTT(tmp, limit, ); NTT(ans, limit, );
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) ans[i] = ( - (LL) ans[i] * tmp[i] % mod + mod) % mod * ans[i] % mod;
     NTT(ans, limit, -);
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) tmp[i] = ;
     for(Rint i = deg;i < limit;i ++) ans[i] = ;
 }
 int Ln[N];
 inline void poly_Ln(int *A, int deg){
     static int tmp[N];
     poly_inv(A, deg);
     for(Rint i = ;i < deg;i ++) tmp[i - ] = (LL) i * A[i] % mod;
     tmp[deg - ] = ;
     int limit = , L = -;
     while(limit <= (deg << )){limit <<= ; L ++;}
     for(Rint i = ;i < limit;i ++)
         rev[i] = (rev[i >> ] >> ) | ((i & ) << L);
     NTT(ans, limit, ); NTT(tmp, limit, );
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) Ln[i] = (LL) ans[i] * tmp[i] % mod;
     NTT(Ln, limit, -);
     for(Rint i = deg + ;i < limit;i ++) Ln[i] = ;
     for(Rint i = deg;i;i --) Ln[i] = (LL) Ln[i - ] * kasumi(i, mod - ) % mod;
     Ln[] = ;
 }
 int n, A[N], fac[N];
 int main(){
     scanf("%d", &n);
     fac[] = ;
     for(Rint i = ;i <= n;i ++) fac[i] = (LL) i * fac[i - ] % mod;
     for(Rint i = ;i <= n;i ++)
         A[i] = (LL) kasumi(, ((LL) i * (i - ) / ) % (mod - )) * kasumi(fac[i], mod - ) % mod;
     poly_Ln(A, n + );
     printf("%d", (LL) Ln[n] * fac[n] % mod);
 }