BSOJ 4591 -- 【JLOI2015】城池攻占

Description

　　小铭铭最近获得了一副新的桌游，游戏中需要用m个骑士攻占n个城池。

　　这n个城池用1到n的整数表示。除1号城池外，城池i会受到另一座城池fi的管辖，其中fi　　每个城池有一个防御值hi，如果一个骑士的战斗力大于等于城池的生命值，那么骑士就可以占领这座城池；否则占领失败，骑士将在这座城池牺牲。占领一个城池以后，骑士的战斗力将发生变化，然后继续攻击管辖这座城池的城池，直到占领1号城池，或牺牲为止。

　　除1号城池外，每个城池i会给出一个战斗力变化参数ai，vi。若ai=0，攻占城池i以后骑士战斗力会增加vi；若ai=1，攻占城池i以后，战斗力会乘以vi。

　　注意每个骑士是单独计算的。也就是说一个骑士攻击一座城池，不管结果如何，均不会影响其他骑士攻击这座城池的结果。

　　现在的问题是，对于每个城池，输出有多少个骑士在这里牺牲；对于每个骑士，输出他攻占的城池数量。

Input

　　第1行包含两个正整数n,m，表示城池的数量和骑士的数量。

　　第2行包含n个整数，其中第i个数为hi，表示城池i的防御值。

　　第3到n+1行，每行包含三个整数。其中第i+1行的三个数为fi,ai,vi，分别表示管辖这座城池的城池编号和两个战斗力变化参数。

　　第n+2到n+m+1行，每行包含两个整数。其中第n+i行的两个数为si,ci，分别表示初始战斗力和第一个攻击的城池。

Output

　　输出n+m行，每行包含一个非负整数。其中前n行分别表示在城池1到n牺牲的骑士数量，后m行分别表示骑士1到m攻占的城池数量。

Sample Input

5 5

50 20 10 10 30

1 1 2

2 0 5

2 0 -10

1 0 10

20 2

10 3

40 4

20 4

35 5

Sample Output

2

2

0

0

0

1

1

3

1

1

网上的很多题解都是可并堆。这里提供一种倍增的做法。

我们设 $mul[i][j]$ 表示从i开始，占领了 $2^{j}$ 座城池（包括i）时，战斗力会乘以 $mul[i][j]$ 。 $add[i][j]$ 表示占领了 $2^{j}$ 座城池（包括i）时，战斗力会增加 $add[i][j]$ 。 $mn[i][j]$ 表示占领 $2^{j}$ 座城池（包括i）所需要的最小初始战斗力。

按照【AHOI2009】行星序列的维护方法倍增维护 $mul[i][j]$ 与 $add[i][j]$ 。代码如下：

mul[i][j]=mul[i][j-1]*mul[fa[i][j-1]][j-1];

add[i][j]=add[i][j-1]*mul[fa[i][j-1]][j-1]+add[fa[i][j-1]][j-1];

然后维护 $mn[i][j]$ 的代码如下：

mn[i][j]=max(mn[i][j-1],(mn[fa[i][j-1]][j-1]-add[i][j-1]+mul[i][j-1]-1)/mul[i][j-1]);

我们假设 $mn[fa[i][j-1]][j-1]$ 为 $x_{1}$ ，在i点是战斗力为 $x_{0}$ ，则 $x_{0}\cdot mul[i][j-1]+add[i][j-1]\geqslant x_{1}$ ，

所以 $x_{0}\geqslant \frac{x_{1}-add[i][j-1]}{mul[i][j-1]}$ （向上取整）。

道理很简单，我们设初始战斗力为 $x_{0}$ ，到某个点时，战斗力乘了a，加了b，那么 $x_{0}\cdot a+b\geqslant h[i]$ , $x_{0}\geqslant \frac{h[i]-b}{a}$ ，然后维护x的最小合法值就行了。然而naive的我考试是一直想用同样的思路维护 $\frac{h[i]-b}{a}$ 的最大值，然后就原地爆炸。。。

所以，我们要学会选择合适的变量维护，不要一颗树上吊死。