证明最大公约数Stein算法(高精度算法)
E:even 奇数 O:odd 偶数
若(a,b)为(e,e),则gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2)
若(a,b)为(e,o),则gcd(a,b)=gcd(a/2,b)
若(a,b)为(o,o)[a>=b],则gcd(a,b)=gcd(a,b-a)
证明:
I.若a=c*d b=c*e 则gcd(a,b)=c*gcd(d,e)
这里c=2。
证明:
对于第一个质数,c拥有该质数的个数为ci,d拥有该质数的个数为di,e拥有该质数的个数为ei,而a拥有该质数的个数为ci+di,b拥有该质数的个数为ci+ei。对于任何质数,都有min(ci+di,ci+ei)=ci+min(di,ei),所以gcd(a,b)=c*gcd(d,e)。
如a=56,b=16,c=2,对于质数2, ai=2,bi=4,ci=1,di=1,ei=3,min(2,4)=1+min(1,3)。
II.若a=c*d,但gcd(c,b)=1,则gcd(a,b)=gcd(d,b)
这里c=2。
证明:
对于一个质数,c拥有该质数的个数为ci, d拥有该质数的个数为di,b拥有该质数的个数为bi,而a拥有该质数的个数为ci+di,其中min(ci,bi)=0。对于任何质数,都有min(ci+di,bi)= min(di,bi)(
当ci=0,min(di,bi)=min(di,bi),成立;
当bi=0,min(ci+di,0)=min(di,0),成立),
所以gcd(a,b)=gcd(d,b)。
III. gcd(a,b)=gcd(b,a-bx)
这里x=1
证明:
设gcd(a,b)=d,gcd(b,a-bx)=e,则
∵d|a,d|b
∴d|a-bx
∴d|gcd(b,a-bx),即d|e
∵e|b,e|a-bx
∴e|bx+(a-bx),即e|a
∴e|gcd(a,b),即e|d
∴d=e。证毕。
(来自Jollwish方法)
各种情况分析:
1.(e,e):(x,y)->(x/2,y/2)->…->[(e,o)/(o,e)/(o,o)]
只在开头出现
2.(o,e):(x,y)->(x,y/2)->…->[(o,o)]
偶数不断除以2知道变为奇数
3.(o,o):(x,y)->(x,y-x) [(o,e)]
(o,o)操作一遍变为(o,e),所以出现次数出现次数较少
所以只在开头判断是否为(e,e);每次先判断是否为(o,e)再判断是否为(o,o)
设定(a,b)中a必须为奇数。则一开始若为(e,o),通过两数交换变为(o,e)。当(o,o)时,若a<=b,则(a,b)->(a,b-a);若a>b,则(a,b)->(b,a-b)。
Another Way:
(o,e)中的偶数不停除以2,直到变为奇数,变为(o,o);而(o,o)通过一次操作变为(o,e),重复操作,直到(o,e)中的偶数为0。
这个方法速度更快一点点。
高精度的实现:
高精度加法,高精度减法,高精度除法(高除低,除以2的特殊情况:对于每一位,若为奇数则下一位加1,若为偶数无操作;然后该位除以2)
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h> int main()
{
long a,b,v,c=;
scanf("%ld%ld",&a,&b);
//two evens
//(e,e)->(e,o)/(o,e)/(o,o)
while ((a & )== && (b & )==)
{
a>>=;
b>>=;
c<<=;
}
//(e,o)->(o,e)
if ((a & )== && (b & )==)
{
v=a;
a=b;
b=v;
}
while (a!= && b!=)
{
//odd on the left,even on the right
//(a,b)->(a,b/2)
if ((a & )+(b & )==)
b>>=;
//two odds
//(a,b)->(a,b-a)/(a-b,b)
else
{
//when a<=b , (a,b-a)
if (a<b)
b-=a;
//when a>b , (b,a-b)
else
{
//(a,b)->(a,a-b)
b=a-b;
//(a,a-b)->(b,a-b)
a-=b;
}
}
}
printf("%ld\n",(a+b)*c);
return ;
}
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h> int main()
{
long a,b,v,c=;
scanf("%ld%ld",&a,&b);
//two evens
//(e,e)->(e,o)/(o,e)/(o,o)
while ((a & )== && (b & )==)
{
a>>=;
b>>=;
c<<=;
}
//(e,o)->(o,e)
if ((a & )== && (b & )==)
{
v=a;
a=b;
b=v;
}
while (a!= && b!=)
{
//(o,e) or (o,o)[first time]
//b不会变为0
while ((b & )==)
b>>=;
//(o,o)
//when a<=b , (a,b-a)
if (a<b)
b-=a;
//when a>b , (b,a-b)
else
{
//(a,b)->(a,a-b)
b=a-b;
//(a,a-b)->(b,a-b)
a-=b;
}
}
printf("%ld\n",(a+b)*c);
return ;
}
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