AC自动机——1 Trie树(字典树)介绍

AC自动机——1 Trie树(字典树)介绍

2013年10月15日 23:56:45

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之前，我们介绍了Kmp算法，其实，他就是一种单模式匹配。当要检查一篇文章中是否有某些敏感词，这其实就是多模式匹配的问题。当然你也可以用KMP算法求出，那么它的时间复杂度为O(c*(m+n))，c：为模式串的个数。m：为模式串的长度,n:为正文的长度，那么这个复杂度就不再是线性了，我们学算法就是希望能把要解决的问题优化到极致，这不，AC自动机就派上用场了。

其实AC自动机就是Trie树的一个活用，活用点就是灌输了kmp的思想，只是在AC自动机中，对Trie增加了一个返回的指针，相当于kmp算法中的next值。从而再次把时间复杂度优化到线性的O(N)。

接下来，我们先介绍一下Trie树

保存6个字符串tea,ten,to,in,inn,int的Trie树

Trie树的基本性质可以归纳为：

(1) 根节点不包括字符，除根节点意外每个节点只包含一个字符

(2) 从根节点到某一个节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串

(3) 每个节点的所有子节点包含的字符串不相同

当然，Trie树也有一个缺点，如果系统中存在大量字符串且这些字符串基本没有公共前缀，则相应的trie树将非常消耗内存

一下，我们再看Trie树的基本实现

字母树的插入( Insert)、删除(Delete)和查找(Find)都非常简单，用一个一重循环即可，即第i次循环找到前i个字母所对应的子树，然后进行相应的操作。实现这棵字母树，我们用最常见的数组保存（静态开辟内存）即可，当然也可以开动态的指针类型（动态开辟内存）。至于结点对儿子的指向，一般有三种方法：1、列每个结点开一个字母集大小的数组，列应的下标是儿子所表示的字母，内容则是这个儿子列应在大数组上的位置，即标号（易实现，空间要求较大）2、对每个结点挂一个链表，按一定顺序记录每个儿子是谁（空间相对较小，比较费时）3、使用左儿子右兄弟表示法记录这棵树。（空间要求最小，相对费时且不容易写）

1. //定义节点的子节点数目 26代表26个字母
2. #define MAX_NUM 26
3. //定义节点类型，completed意为到从根节点到此节点为一个字符串
4. enum NODE_TYPE
5. {
6. COMPLETED,
7. UNCOMPLETED
8. };
9. //节点数据类型
10. struct Node
11. {
12. enum NODE_TYPE type;
13. char ch;
14. struct Node* child[MAX_NUM];
15. }
16. struct Node* ROOT;
17. //创建新节点
18. struct Node* createNewNode(char ch)
19. {
20. struct Node* new_node = (struct Node*) malloc(sizeof(struct Node));
21. new_node->ch = ch;
22. new_node->type = UNCOMPLETED;
23. int i;
24. for(i=0; i<MAX_NUM; i++)
25. new_node->child[i] = NULL;
26. return new_node;
27. }
28. //初始化Trie树
29. void initialization()
30. {
31. ROOT = createNewNode('');
32. }
33. //
34. int charToindex(char ch)
35. {
36. return ch - 'a';
37. }
38. // 查询字符串
39. int find(const char chars[], int len)
40. {
41. struct Node* ptr = ROOT;
42. int i = 0;
43. while(i<len)
44. {
45. if(ptr->child[charToindex(chars[i])] == NULL)
46. break;
47. ptr = ptr->child[charToindex(chars[i])];
48. i ++;
49. }
50. return (i == len) && (ptr->type == COMPLETED);
51. }
52. //插入将字符串插入Trie树
53. void insert(const char chars[], int len)
54. {
55. struct Node* ptr = ROOT;
56. int i;
57. for(i = 0; i<len; i++)
58. {
59. if(ptr->child[charToindex(chars[i])] == NULL)
60. {
61. ptr->child[charToindex(chars[i])] == createNewNode(chars[i]);
62. }
63. ptr = ptr->child[charToindex[chars[i]]];
64. }
65. ptr->type = COMPLETED;
66. }

Triel树应用

(l)字符串检索
事先将已知的些字符串（字典）的有关信自保存到trie树里，查找另外些未知字符串是否出现过或者出现频率。
举例：
1给出N个单词组成的熟词表，以及篇全用小写英文书写的文章，请你按最早出现的顺序写出所有不在熟词表中的生词。
2给出个词典，其中的单词为不良单词。单词均为小写字母。再给出段文本，文本的每行也自小写字母构成。判断文本中是否含有任何不良单词。例如，若rob是不良单词，那么文本problem含有不良单词。

(2)字符串最长公共前缀
Trie树利用多个字符串的公共前缀来节省存储空间，反之，当我们把大量字符串存储到棵trie树上时，我们可以快速得到某些字符串的公共前缀。
举例：
1给出N个小写英文字母串，以及Q个询问，即询问某两个串的最长公共前缀的长度是多少
解决方案：首先对所有的串建互其对应的字母树。此时发现，对于两个串的最长公共前缀的长度即它们所在结点的公共祖先个数，于是，问题就转化为了离线（Offline）的最近公共祖先(L—t Comon An…tor，简称LCA)问题
而最近公共祖先问题同样是个经典问题．可以用下面几种方法：
1)利用并查集(Disioint Set)，可以采用采用经典的Tarian算法，
2)求出字母树的殴拉序列（Eul er  Sequence）后，就可以转为经典的最小值查询(RanZeMinimum Querr，简称ⅫO)问题了，
（关于并查集，T arjar薄法，Ⅻ。问题，网上有很多资料。）

(3)排序
Trie树是棵多叉树，只要先序遍历整棵树，输出相应的字符串便是按字典序排序的结果。
举例：
给你N个互不相同的仅由一个单词构成的英文名，让你将它们按字典序从小到大排序输出。

(4)作为其他数据结构和算法的辅助结构
如后缀树，AC自动机等

同时，由于Trie树的空间复杂度是26^n级别，非常庞大，可用双数组改善