MT【66]寻找对称中心

设函数$f(x)=2x-cosx,{a_n}$是公差为$\frac{\pi}{8}$的等差数列,$f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)+f(a_4)+f(a_5)=5\pi$，则 $[f(a_3)]^2-a_2a_3=$_____

                                                                                 (2012四川理科高考填空压轴题)

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分析:若定义在$R$上的函数$f(x)=s(x)+t(x),$其中$s(x)$关于$(p,m)$对称,$t(x)$关于$(p,n)$

        对称,则$f(x)$关于$(p,m+n)$对称。

解答:易知$s(x)=2x$关于$(x_0,2x_0),x_0\in R$对称.$t(x)=cosx$关于$(\frac{\pi}{2}+k\pi,0),k\in Z$

         对称.令$x_0=\frac{\pi}{2},$则$f(x)$关于$(\frac{\pi}{2},\pi)$对称.再结合$f(x)$的单调性由已知可知

         $a_3=\frac{\pi}{2},$从而易知答案为$\frac{13}{16}\pi^2$