CSU 1325: A very hard problem 中南月赛的一道题。

1325: A very hard problem

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Description

CX老湿经常被人黑，被黑得多了，自己也就麻木了。于是经常听到有人黑他，他都会深情地说一句：禽兽啊！

一天CX老湿突发奇想，给大家出了一个难题，并且声称谁能够准确地回答出问题才能继续黑他，否则他就要反击了。

这个难题就是：

给出两个数p和q，接下来q个询问，每个询问给出两个数A和B，请分别求出：

一、有多少个有序数对（x，y）满足1<=x<=A，1<=y<=B，并且gcd（x，y）为p的一个约数；

二、有多少个有序数对（x，y）满足1<=x<=A，1<=y<=B，并且gcd（x，y）为p的一个倍数。

Input

只有一组测试数据。

第一行两个数：p和q。（1<p<10^7 ，1<q<1000。）

接下来有q行，每行两个数A和B。（1<A,B<10^7）

Output

输出共q行。每行两个数。用空格隔开。

分别表示题目描述中的两个对应的答案。

(x,y)=(2,3)和(x,y)=(3,2)被视为两个不同有序数对哦！

Sample Input

Sample Output

HINT

对于64位整型请用lld，或者cin，cout。T_T

CSU_LQ

这一道题是去年的一次比赛的题，当时觉得用欧拉能做，然后很难实现。

后来知道用莫比乌斯反演来做，但是一直超时。已经使用分块了，还是超时。

题意：略

思路：对于第二种，直接(A/p)*(B/p)就是答案。不难理解。

　　对于第一种情况：

设

g(p)代表枚举P的每一因子 di 求gcd(x,y)=di (1<=x<=A,1<=y<=B)的累加和。

就是题意要求的值。

如果此时，枚举每一个P的因子di 来求，就会超时。

这个式子可以转化一下，另T = di*x,那么式子可以转化为：

这样的话，我们只需要先预处理后一部分，就可以用sqrt(min(A,B)) 的时间解决这个问题。

这部分如何预处理呢？

首先我们先打表求出u[];

分析这个式子，设tom(T) = sigma(u[di],T%di==0&&di是P的因子);

由于p是唯一的，我们求出它的因子，然后用它的因子筛选一下数组hxl[ ] ,就是tom（T）；

最后hxl[]，前n项和，用分块来做，完毕。

 #include<iostream>

 #include<stdio.h>

 #include<cstring>

 #include<cstdlib>

 #include<math.h>

 using namespace std; 

 typedef long long LL;

 const int maxn = 1e7+;

 bool s[maxn];

 int prime[],len = ;

 int yz[],ylen;

 int mu[maxn];

 int hxl[maxn];

 void  init()

 {

     memset(s,true,sizeof(s));

     mu[] = ;

     for(int i=;i<maxn;i++)

     {

         if(s[i] == true)

         {

             prime[++len]  = i;

             mu[i] = -;

         }

         for(int j=;j<=len && ((long long)prime[j])*i<maxn;j++)

         {

             s[i*prime[j]] = false;

             if(i%prime[j]!=)

                 mu[i*prime[j]] = -mu[i];

             else

             {

                 mu[i*prime[j]] = ;

                 break;

             }

         }

     }

 }

 void solve(int  p)

 {

     ylen = ;

     int k = (int)sqrt(p*1.0);

     int tmp;

     for(int i=;i<=k;i++)

     {

         if(p%i==)

         {

             yz[++ylen] = i;

             tmp = p/i;

             if(tmp!=i) yz[++ylen] = tmp;

         }

     }

     for(int i=;i<=ylen;i++)

     {

         for(int j=yz[i],k=;j<maxn;j=j+yz[i],k++)

             hxl[j]=hxl[j]+mu[k];

     }

     for(int i=;i<maxn;i++) hxl[i] = hxl[i]+hxl[i-];

 }

 int main()

 {

     init();

     int  p,q,A,B;

     scanf("%d%d",&p,&q);

     solve(p);

     while(q--)

     {

         scanf("%d%d",&A,&B);

         if(A>B) swap(A,B);

         long long ans1 = ,ans2 = ;

         for(int i=,la = ;i<=A; i=la+)

         {

             la = min(A/(A/i),B/(B/i));

             ans1 = ans1+(long long)(hxl[la]-hxl[i-])*(A/i)*(B/i);

         }

         ans2 = (A/p)*(B/p);

         printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);

     }

     return ;

 } 

 /**************************************************************

     Problem: 1325

     User: 987690183

     Language: C++

     Result: Accepted

     Time:1052 ms

     Memory:92044 kb

 ****************************************************************/