CSU 1325: A very hard problem 中南月赛的一道题。

1325: A very hard problem

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Description

CX老湿经常被人黑，被黑得多了，自己也就麻木了。于是经常听到有人黑他，他都会深情地说一句：禽兽啊！

一天CX老湿突发奇想，给大家出了一个难题，并且声称谁能够准确地回答出问题才能继续黑他，否则他就要反击了。

这个难题就是：

给出两个数p和q，接下来q个询问，每个询问给出两个数A和B，请分别求出：

一、有多少个有序数对（x，y）满足1<=x<=A，1<=y<=B，并且gcd（x，y）为p的一个约数；

二、有多少个有序数对（x，y）满足1<=x<=A，1<=y<=B，并且gcd（x，y）为p的一个倍数。

Input

只有一组测试数据。

第一行两个数：p和q。（1<p<10^7 ，1<q<1000。）

接下来有q行，每行两个数A和B。（1<A,B<10^7）

Output

输出共q行。每行两个数。用空格隔开。

分别表示题目描述中的两个对应的答案。

(x,y)=(2,3)和(x,y)=(3,2)被视为两个不同有序数对哦！

Sample Input

6 3
8 8
15 32
13 77

Sample Output

58 1
423 10
883 24

HINT

对于64位整型请用lld，或者cin，cout。T_T

CSU_LQ

这一道题是去年的一次比赛的题，当时觉得用欧拉能做，然后很难实现。

后来知道用莫比乌斯反演来做，但是一直超时。已经使用分块了，还是超时。

题意：略

思路：对于第二种，直接(A/p)*(B/p)就是答案。不难理解。

　　   对于第一种情况：

设

g(p)代表枚举P的每一因子 di 求gcd(x,y)=di (1<=x<=A,1<=y<=B)的累加和。

就是题意要求的值。

如果此时，枚举每一个P的因子di 来求，就会超时。

这个式子可以转化一下，另T = di*x,那么式子可以转化为：

这样的话，我们只需要先预处理后一部分，就可以用sqrt(min(A,B)) 的时间解决这个问题。

这部分如何预处理呢？

首先我们先打表求出u[];

分析这个式子，设tom(T) = sigma(u[di],T%di==0&&di是P的因子);

由于p是唯一的，我们求出它的因子，然后用它的因子筛选一下数组hxl[ ] ,就是tom（T）；

最后hxl[]，前n项和，用分块来做，完毕。

 #include<iostream>
 #include<stdio.h>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<math.h>
 using namespace std; 

 typedef long long LL;
 const int maxn = 1e7+;
 bool s[maxn];
 int prime[],len = ;
 int yz[],ylen;
 int mu[maxn];
 int hxl[maxn];
 void  init()
 {
     memset(s,true,sizeof(s));
     mu[] = ;
     for(int i=;i<maxn;i++)
     {
         if(s[i] == true)
         {
             prime[++len]  = i;
             mu[i] = -;
         }
         for(int j=;j<=len && ((long long)prime[j])*i<maxn;j++)
         {
             s[i*prime[j]] = false;
             if(i%prime[j]!=)
                 mu[i*prime[j]] = -mu[i];
             else
             {
                 mu[i*prime[j]] = ;
                 break;
             }
         }
     }
 }
 void solve(int  p)
 {
     ylen = ;
     int k = (int)sqrt(p*1.0);
     int tmp;
     for(int i=;i<=k;i++)
     {
         if(p%i==)
         {
             yz[++ylen] = i;
             tmp = p/i;
             if(tmp!=i) yz[++ylen] = tmp;
         }
     }
     for(int i=;i<=ylen;i++)
     {
         for(int j=yz[i],k=;j<maxn;j=j+yz[i],k++)
             hxl[j]=hxl[j]+mu[k];
     }
     for(int i=;i<maxn;i++) hxl[i] = hxl[i]+hxl[i-];
 }
 int main()
 {
     init();
     int  p,q,A,B;
     scanf("%d%d",&p,&q);
     solve(p);
     while(q--)
     {
         scanf("%d%d",&A,&B);
         if(A>B) swap(A,B);
         long long ans1 = ,ans2 = ;
         for(int i=,la = ;i<=A; i=la+)
         {
             la = min(A/(A/i),B/(B/i));
             ans1 = ans1+(long long)(hxl[la]-hxl[i-])*(A/i)*(B/i);
         }
         ans2 = (A/p)*(B/p);
         printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
     }
     return ;
 } 

 /**************************************************************
     Problem: 1325
     User: 987690183
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:1052 ms
     Memory:92044 kb
 ****************************************************************/