UVA 11419 SAM I AM（最大二分匹配&最小点覆盖：König定理）

题意：在方格图上打小怪，每次可以清除一整行或一整列的小怪，问最少的步数是多少，又应该在哪些位置操作（对输出顺序没有要求）。

分析：最小覆盖问题

　　这是一种在方格图上建立的模型：令S集表示“行”，T集表示“列”，那么小怪站的位置w(i,j)，就是二分图上的边。如此建图，那么每次清除，就是把与某个点相连的边全部清除，问最少选择多少个点。（这也是最小点覆盖的概念：选择尽量少的点，使得每条边至少有一个端点被选中）

　　这里有一个König定理：最大二分匹配数==最小覆盖点数。

　　既然是求最小点覆盖，那么自然是选那些所连边数多的点，不过貌似不好安排啊？

　　先从简单问题开始讨论：找到必然要选的点。对于一棵树，为了覆盖到叶子节点所在的边，必须选择该条边上的两个端点之一。不用问，按照最小覆盖的原则，必然是要选非叶子节点了。把所有与选择的点相连的边都处理掉，就相当于是这棵树的最下面一层被砍掉了（叶子的爷爷成为了新的叶子）。那么对于剩下的树，仍然可以这样操作，最终得到了最小点覆盖。幸运的是，树属于二分图，而二分图虽然不一定是树（存在偶环），但可以构建出匈牙利树（交错树），是可以借鉴的。

　　聪明的地球人提出了如下算法：

　　对于一个二分图，求出其最大匹配。然后取左侧（S侧）所有的未匹配点，按照增广路算法，寻找交错路径（路径上的点都是匹配点），标记掉路径上的所有点（不存在重复标记）。那么左侧（S侧）所有的未标记点，与右侧（T侧）所有的标记点，就是实现最小点覆盖的点。

　　1、为什么这些点可以覆盖所有边？

　　如果还有没有覆盖的边，那么一定是一些左端点已标记，右端点未标记的边。而通过我们算法中的构造，不存在这样的边。为什么呢？回忆一下增广路算法，我们的起点选择的是S侧的未匹配点，之后选择一条边走到T侧（该点必然是匹配点）；因为要走交错路径，就沿着匹配边回到了S侧...可以想象成每次只是从S侧走到T侧，然后沿匹配边回到S侧。所以不存在S端已标记，T端未标记的线段。所以所有边都被覆盖了。

　　2、为什么这些点的在数量上等于最大二分匹配的边数？

　　因为每条匹配边上恰好选择一个点。为什么是这样呢？注意，最小点覆盖的点集包括：S侧的未标记点，和T侧的标记点。有增广路算法可知（同上一个问题相似），若T侧的点被标记，那么同一条匹配边上的S侧的点必然也被标记——点集中不包含同一条匹配边上的两个点。S侧的未标记点，实际上是除去未匹配点，以及跟随T侧点而被标记的点后，剩余的（即选择了那些T侧未被标记的匹配边）。所以两侧的点把所有的匹配边都包含了。所以最大二分匹配数==最小覆盖点数。

　　3、为什么这些点就是最小值？

　　这个问题最简单：及使图上只有n条匹配边，我们都要用n个点才能覆盖。若再少，至少漏掉一条匹配边。所以是最小值。

（注：难得自己动手改了张图...圆圈是覆盖点，方格是标记点，箭头是交错路径，蓝线是匹配边。）

可以看看这个链接，我认为上面的解释更通俗一些。

http://www.matrix67.com/blog/?s=%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%A6%86%E7%9B%96%E7%82%B9

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<algorithm>
 #define clr(a,m) memset(a,m,sizeof(a))
 #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
 using namespace std;

 const int MAXN=;

 int n,m,cnt,ans;

 vector<int>G[MAXN];
 vector<int>row,col;

 int left[MAXN],right[MAXN],S[MAXN],T[MAXN];

 void init()
 {
     rep(i,,n)
         G[i].clear();
 }

 void read()
 {
     int x,y;
     init();
     rep(i,,cnt){
         scanf("%d%d",&x,&y);
         G[x].push_back(y);
     }
 }

 bool match(int u)
 {
     S[u]=true;
     int sz=G[u].size();
     rep(i,,sz-){
         int v=G[u][i];
         if(!T[v]){
             T[v]=true;
             if(!left[v]||match(left[v])){
                 left[v]=u;
                 right[u]=v;
                 return true;
             }
         }
     }
     return false;
 }

 void AP()
 {
     rep(i,,m)left[i]=;//n和m写反了
     rep(i,,n)right[i]=;

     ans=;
     rep(i,,n){
         rep(j,,n)S[j]=;
         rep(j,,m)T[j]=;
         if(match(i))
             ans++;
     }
 }

 void mincover()
 {
     rep(i,,n)S[i]=;//重新标记增广路
     rep(i,,m)T[i]=;

     rep(i,,n)//选择S侧的未标记点
         if(!right[i])
             match(i);

     row.clear();
     col.clear();
     rep(i,,n)
         if(!S[i])
             row.push_back(i);
     rep(i,,m)
         if(T[i])
             col.push_back(i);
 }

 void print()
 {
     printf("%d",ans);
 int sz=col.size();
     rep(i,,sz-)
         printf(" c%d",col[i]);
      sz=row.size();
     rep(i,,sz-)
         printf(" r%d",row[i]);

     printf("\n");
 }

 int main()
 {
     while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&cnt))
     {
         if(!n&&!m&&!cnt)
             return ;
         read();
         AP();
         mincover();
         print();
     }
     return ;
 }