堆排序 Heap Sort

堆排序虽然叫heap sort，但是和内存上的那个heap并没有实际关系。算法上，堆排序一般使用数组的形式来实现，即binary heap。

我们可以将堆排序所使用的堆int[] heap视为一个完全二叉树，即，除非最后一层右侧有空结点，其他都为满结点。

对于任意heap[i]有如下一些性质：

1. i从1开始。

2. heap[i]的父节点为heap[i / 2]。

3. heap[i]的左子节点为heap[i * 2]，右子节点为heap[i * 2 + 1]。

我们假设这个堆是一个最大堆，也就是父节点大于所有子节点，而且每个子树也有这样的性质。下面几个和堆排序有关的方法，基本来自于《算法导论》中的思路。

maxifyHeap方法，堆中index这个位置的结点破坏了整个堆的性质，但是其他结点的位置就是对的。我们首先将heap[index]和它左右子节点中，较大的那个交换位置，比如是left，然后递归调用maxifyHeap(left)。为什么假设只有index这个结点位置不对？因为这个方法一般是在建堆之后调用，也就是基于heap已经是最大堆的事实。这个方法的时间复杂度为O(logn)。

buildMaxHeap方法，建堆。也就是在堆在初始状态，很乱的时候，首次调用。思路是：从树的倒数第二层的最后一个有子节点的结点开始，递归调用上面的maxifyHeap方法。注意，开始的结点必然是heapLength，终点是1。时间复杂度为O(n)。

heapSort方法，首先用buildMaxHeap建堆，然后将堆顶元素和最后一个元素交换位置，这时候最后一个元素肯定到位了，最大。但是第一个元素交换过来的肯定不该在第一位，注意，这时其他结点仍然没有破坏最大堆的性质。所以我们只要调用maxifyHeap(1)就可以了。所以我们，循环这样做，每次将堆顶元素和最后一个元素交换位置，同时heapLength--。直到heapLength==1。时间复杂度为O(nlogn)。

public class BinaryHeap {
    static int heapLength;

    public static void maxifyHeap(int[] heap, int index) {
        if(index > heapLength) {
            return;
        }
        int left = index * 2, right = index * 2 + 1;
        int larger = -1;
        if(left <= heapLength) {
            if(heap[left] > heap[index]) {
                larger = left;
            }
        }
        if(right <= heapLength) {
            if(heap[right] > heap[index] && heap[right] > heap[left]) {
                larger = right;
            }
        }
        swap(heap, index, larger);
        maxifyHeap(heap, larger);
    }

    public static void buildMaxHeap(int[] heap) {
        for(int i = heapLength / 2; i >= 1; i--) {
            maxifyHeap(heap, i);
        }
    }

    public void heapSort(int[] heap) {
        buildMaxHeap(heap);
        for(int i = heapLength; i >= 1; i--) {
            swap(heap, 1, i);
            heapLength--;
            maxifyHeap(heap, 1);
        }
    }

    public static void swap(int[] heap, int index1, int index2) {
        int temp = heap[index1];
        heap[index1] = heap[index2];
        heap[index2] = temp;
    }
}

参考http://www.cnblogs.com/yangecnu/p/Introduce-Priority-Queue-And-Heap-Sort.html