简介

SymPy是一个符号计算的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它完全由Python写成，不依赖于外部库。SymPy支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。(来自维基百科的描述)

更多内容请查看本人个人博客：https://huiyang865.github.io/2016/08/27/sympy/

Sympy安装方法

安装命令：pip install sympy

基本数值类型

实数，有理数和整数

SymPy有三个内建的数值类型：实数，有理数和整数。有理数类用两个整数来表示一个有理数。分子与分母，所以Rational(1,2)代表1/2，Rational(5,2)代表5/2，等等。

>>>from sympy import *

>>>a = Rational(1,2)

>>>a

1/2

>>>a*2

1

>>>Rational(2)**50/Rational(10)**50

1/88817841970012523233890533447265625

当利用Python的整数计算时要注意一下，Python只会截取除法的整数部分：

>>>1/2

0

>>>1.0/2

0.5

然而你可以：

>>>from __future__ import division

>>>1/2 #doctest: +SKIP

0.5

正确的除法在python3k和isympy中这样做，是标准的。

特殊的常数

我们也可以有一些特殊的常数，像e和pi，它们会被当作符号去对待。（1+pi不会求得值，反而它会保持为1+pi），例如：

>>>pi**2

pi**2

>>>pi.evalf()

3.14159265358979

>>>(pi+exp(1)).evalf()

5.85987448204884

求表达式的浮点数-evalf()函数

正如你看到的，evalf()函数可以用求出表达式的浮点数。
有一个无穷大的类型，被成为oo：

>>>oo > 99999

True

>>>oo + 1

oo

If the substitution will be followed by numerical evaluation, it is better to pass the substitution to evalf as

>>> (1/x).evalf(subs={x: 3.0}, n=21)

0.333333333333333333333

rather than

>>> (1/x).subs({x: 3.0}).evalf(21)

0.333333333333333314830

Sympy基本使用

定义变量-Symbols函数

对比与其他的计算机代数系统，在SymPy中要明确声明符号变量：

>>> x = symbols('x')

>>> x + 1

x + 1

>>>x,y,z=symbols('x y z')

>>> crazy = symbols('unrelated')

>>> crazy + 1

unrelated + 1

>>> x = symbols('x')

>>> expr = x + 1

>>> x = 2

>>> print(expr)

x + 1

Changing x to 2 had no effect on expr. This is because x = 2 changes the Python variable x to 2, but has no effect on the SymPy Symbol x, which was what we used in creating expr.

变量替换subs函数

>>> x = symbols('x')

>>> expr = x + 1

>>> expr.subs(x, 2)

3

>>> from sympy import pi, exp, limit, oo

>>> from sympy.abc import x, y

>>> (1 + x*y).subs(x, pi)

pi*y + 1

>>> (1 + x*y).subs({x:pi, y:2})

1 + 2*pi

>>> (1 + x*y).subs([(x, pi), (y, 2)])

1 + 2*pi

>>> reps = [(y, x**2), (x, 2)]

>>> (x + y).subs(reps)

6

>>> (x + y).subs(reversed(reps))

x**2 + 2

>>> (x**2 + x**4).subs(x**2, y)

y**2 + y

>>> (x**2 + x**4).xreplace({x**2: y})

x**4 + y

>>> (x/y).subs([(x, 0), (y, 0)])

0

>>> (x/y).subs([(x, 0), (y, 0)], simultaneous=True)

nan

>>> ((x + y)/y).subs({x + y: y, y: x + y})

1

>>> ((x + y)/y).subs({x + y: y, y: x + y}, simultaneous=True)

y/(x + y)

>>> limit(x**3 - 3*x, x, oo)

oo

调用方式：[subs(*args, **kwargs)]

代数

局部的代数式展开，使用apart(expr, x):

In [1]: 1/( (x+2)*(x+1) )

Out[1]:

       1

───────────────

(2 + x)*(1 + x)

In [2]: apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x)

Out[2]:

  1       1

───── - ─────

1 + x   2 + x

In [3]: (x+1)/(x-1)

Out[3]:

-(1 + x)

────────

  1 - x

In [4]: apart((x+1)/(x-1), x)

Out[4]:

      2

1 - ─────

    1 - x

代数式的合并

(相当于展开的逆运算)，使用together(expr, x)：

In [7]: together(1/x + 1/y + 1/z)

Out[7]:

x*y + x*z + y*z

───────────────

    x*y*z

In [8]: together(apart((x+1)/(x-1), x), x)

Out[8]:

-1 - x

──────

1 - x

In [9]: together(apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x), x)

Out[9]:

      1

───────────────

(2 + x)*(1 + x)

微积分

极限

在sympy中极限容易求出，它们遵循极限语法 limit(function, variable, point) ，所以计算x->0时f(x)的极限，即limit(f, x, 0)：

>>>from sympy import *

>>>x=Symbol("x")

>>>limit(sin(x)/x, x, 0)

1

>>>limit(x, x, oo)

oo

>>>limit(1/x, x, oo)

0

>>>limit(x**x, x, 0)

1

有一些特殊的极限的例子，可以阅读文件test_demidovich.py

微分

可以对任意SymPy表达式微分。diff(func, var)。例如：

>>>from sympy import *

>>>x = Symbol('x')

>>>diff(sin(x), x)

cos(x)

>>>diff(sin(2*x), x)

2*cos(2*x)

>>>diff(tan(x), x)

1 + tan(x)**2

可以通过以下验证:

>>>limit((tan(x+y)-tan(x))/y, y, 0)

1 + tan(x)**2

计算高阶微分 diff(func, var, n) :

>>>diff(sin(2*x), x, 1)

2*cos(2*x)

>>>diff(sin(2*x), x, 2)

-4*sin(2*x)

>>>diff(sin(2*x), x, 3)

-8*cos(2*x)

级数展开

函数 series(var, point, order)：

>>>from sympy import *

>>>x = Symbol('x')

>>>cos(x).series(x, 0, 10)

1 - x**2/2 + x**4/24 - x**6/720 + x**8/40320 + O(x**10)

>>>(1/cos(x)).series(x, 0, 10)

1 + x**2/2 + 5*x**4/24 + 61*x**6/720 + 277*x**8/8064 + O(x**10)

积分

SymPy支持不定积分，超越函数与特殊函数的定积分。SymPy有力的扩展Risch-Norman 算法和模型匹配算法。

>>>from sympy import *

>>>x, y = symbols('xy')

初等函数：

>>>integrate(6*x**5, x)

x**6

>>>integrate(sin(x), x)

-cos(x)

>>>integrate(log(x), x)

-x + x*log(x)

>>>integrate(2*x + sinh(x), x)

cosh(x) + x**2

特殊函数：

>>>integrate(exp(-x**2)*erf(x), x)

pi**(1/2)*erf(x)**2/4

定积分：

>>>integrate(x**3, (x, -1, 1))

0

>>integrate(sin(x), (x, 0, pi/2))

1

>>>integrate(cos(x), (x, -pi/2, pi/2))

2

一些广义积分也可以被支持：

>>>integrate(exp(-x), (x, 0, oo))

1

>>>integrate(log(x), (x, 0, 1))

-1

复数

>>>from sympy import Symbol, exp, I

>>>x = Symbol("x")

>>>exp(I*x).expand()

exp(I*x)

>>>exp(I*x).expand(complex=True)

I*exp(-im(x))*sin(re(x)) + cos(re(x))*exp(-im(x))

>>>x = Symbol("x", real=True)

>>>exp(I*x).expand(complex=True)

I*sin(x) + cos(x)

函数

三角函数：:

In [1]: sin(x+y).expand(trig=True)

Out[1]: cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x)

In [2]: cos(x+y).expand(trig=True)

Out[2]: cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

In [3]: sin(I*x)

Out[3]: I*sinh(x)

In [4]: sinh(I*x)

Out[4]: I*sin(x)

In [5]: asinh(I)

Out[5]:

π*I

───

 2

In [6]: asinh(I*x)

Out[6]: I*asin(x)

In [15]: sin(x).series(x, 0, 10)

Out[15]:

     3     5     7       9

    x     x     x       x

x - ── + ─── - ──── + ────── + O(x**10)

    6    120   5040   362880

In [16]: sinh(x).series(x, 0, 10)

Out[16]:

     3     5     7       9

    x     x     x       x

x + ── + ─── + ──── + ────── + O(x**10)

    6    120   5040   362880

In [17]: asin(x).series(x, 0, 10)

Out[17]:

     3      5      7       9

    x    3*x    5*x    35*x

x + ── + ──── + ──── + ───── + O(x**10)

    6     40    112     1152

In [18]: asinh(x).series(x, 0, 10)

Out[18]:

     3      5      7       9

    x    3*x    5*x    35*x

x - ── + ──── - ──── + ───── + O(x**10)

    6     40    112     1152

球谐函数：

In [1]: from sympy.abc import theta, phi

In [2]: Ylm(1, 0, theta, phi)

Out[2]:

     ————

╲╱ 3 *cos(θ)

────────────

        ——

  2*╲╱ π

In [3]: Ylm(1, 1, theta, phi)

Out[3]:

    ——            I*φ

-╲╱ 6   *│sin(θ)│*ℯ

────────────────────

           ——

      4*╲╱ π

In [4]: Ylm(2, 1, theta, phi)

Out[4]:

   ———                  I*φ

-╲╱ 30  *│sin(θ)│*cos(θ)*ℯ

────────────────────────────

                ——

          4*╲╱ π

阶乘和伽玛函数：

In [1]: x = Symbol("x")

In [2]: y = Symbol("y", integer=True)

In [3]: factorial(x)

Out[3]: Γ(1 + x)

In [4]: factorial(y)

Out[4]: y!

In [5]: factorial(x).series(x, 0, 3)

Out[5]:

                    2           2    2  2

                   x *EulerGamma    π *x

1 - x*EulerGamma + ────────────── + ───── + O(x**3)

                         2            12

Zeta函数:

In [18]: zeta(4, x)

Out[18]: ζ(4, x)

In [19]: zeta(4, 1)

Out[19]:

  4

π

──

90

In [20]: zeta(4, 2)

Out[20]:

       4

     π

-1 + ──

     90

In [21]: zeta(4, 3)

Out[21]:

         4

  17   π

- ── + ──

  16   90

多项式

In [1]: chebyshevt(2, x)

Out[1]:

        2

-1 + 2*x

In [2]: chebyshevt(4, x)

Out[2]:

       2      4

1 - 8*x  + 8*x

In [3]: legendre(2, x)

Out[3]:

          2

       3*x

-1/2 + ────

       2

In [4]: legendre(8, x)

Out[4]:

          2         4         6         8

35   315*x    3465*x    3003*x    6435*x

─── - ────── + ─────── - ─────── + ───────

128     32        64        32       128

In [5]: assoc_legendre(2, 1, x)

Out[5]:

            —————

         ╱     2

-3*x*╲╱  1 - x

In [6]: assoc_legendre(2, 2, x)

Out[6]:

      2

3 - 3*x

In [7]: hermite(3, x)

Out[7]:

           3

-12*x + 8*x

微分方程

在isympy中：

In [4]: f(x).diff(x, x) + f(x)     #注意在使用输入该命令之前，一定要声明f=Function('f')

Out[4]:

  2

 d

─────(f(x)) + f(x)

dx dx

In [5]: dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))

Out[5]: C₁*sin(x) + C₂*cos(x)

代数方程

在isympy中：

In [7]: solve(x**4 - 1, x)

Out[7]: [i, 1, -1, -i]

In [8]: solve([x + 5*y - 2, -3*x + 6*y - 15], [x, y])

Out[8]: {y: 1, x: -3}

线性代数

矩阵

矩阵由矩阵类创立建:

>>>from sympy import Matrix

>>>Matrix([[1,0], [0,1]])

[1, 0]

[0, 1]

不只是数值矩阵，亦可为代数矩阵，即矩阵中存在符号：

>>>x = Symbol('x')

>>>y = Symbol('y')

>>>A = Matrix([[1,x], [y,1]])

>>>A

[1, x]

[y, 1]

>>>A**2

[1 + x*y,     2*x]

[    2*y, 1 + x*y]

关于矩阵更多的例子，请看线性代数教程。

系数匹配

使用 .match()方法，引用Wild类，来执行表达式的匹配。该方法会返回一个字典。

>>>from sympy import *

>>>x = Symbol('x')

>>>p = Wild('p')

>>>(5*x**2).match(p*x**2)

{p_: 5}

>>>q = Wild('q')

>>>(x**2).match(p*x**q)

{p_: 1, q_: 2}

如果匹配不成功，则返回None：

>>>print (x+1).match(p**x)

None

可以使用Wild类的‘exclude’参数（排除参数），排除不需要和无意义的匹配结果,来保证结论中的显示是唯一的：

>>>x = Symbol('x')

>>>p = Wild('p', exclude=[1,x])

>>>print (x+1).match(x+p) # 1 is excluded

None

>>>print (x+1).match(p+1) # x is excluded

None

>>>print (x+1).match(x+2+p) # -1 is not excluded

{p_: -1}

打印输出

标准

str(expression)返回如下：

>>>from sympy import Integral

>>>from sympy.abc import x

>>>print x**2

x**2

>>>print 1/x

1/x

>>>print Integral(x**2, x)

Integral(x**2, x)

Pretty Printing

用pprint函数可以输出不错的ascii艺术：

>>>from sympy import Integral, pprint

>>>from sympy.abc import x

>>>pprint(x**2) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE

2

x

>>>pprint(1/x)

1

-

x

>>>pprint(Integral(x**2, x))

 /

|

|  2

| x  dx

|

/

[Pretty PrintingWiki]
提示：在python解释器中，为使pretty printing为默认输出，使用：

$ python

Python 2.5.2 (r252:60911, Jun 25 2008, 17:58:32)

[GCC 4.3.1] on linux2

Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.

>>> from sympy import *

>>> import sys

>>> sys.displayhook = pprint

>>> var("x")

x

>>> x**3/3

3

x

--

3

>>> Integral(x**2, x) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE

/

|

|  2

| x  dx

|

/

Python printing

>>>from sympy.printing.python import python

>>>from sympy import Integral

>>>from sympy.abc import x

>>>print python(x**2)

x = Symbol('x')

e = x**2

>>>print python(1/x)

x = Symbol('x')

e = 1/x

>>>print python(Integral(x**2, x))

x = Symbol('x')

e = Integral(x**2, x)

LaTeX printing

>>>from sympy import Integral, latex

>>>from sympy.abc import x

>>>latex(x**2)

$x^{2}$

>>>latex(1/x)

$\frac{1}{x}$

>>>latex(Integral(x**2, x))

$\int x^{2}\,dx$

MathML

>>>from sympy.printing.mathml import mathml

>>>from sympy import Integral, latex

>>>from sympy.abc import x

>>>print mathml(x**2)

<apply><power/><ci>x</ci><cn>2</cn></apply>

>>>print mathml(1/x)

<apply><power/><ci>x</ci><cn>-1</cn></apply>

Pyglet

>>>from sympy import Integral, preview

>>>from sympy.abc import x

>>>preview(Integral(x**2, x)) #doctest:+SKIP

注解

Isympy默认调用pprint，所以这就是为什么看到pretty printing为默认的。

有一个打印的有效模块，sympy.printing。用这个模块实现其他的打印：

pretty(expr), pretty_print(expr), pprint(expr): 分别返回或者输出，，表达式的漂亮描述。这是相同
latex(expr), print_latex(expr):分别返回或者输出，LaTex描写的表达式
mathml(expr), print_mathml(expr):分别返回或者输出，MathML描写的表达式
print_gtk(expr): 表达式打印到Gtkmathview , 这是一个GTK小配件显示MathML代码。Gtkmathview程序是必须的。

SymPy库常用函数

简介