ZOJ 3747 - Attack on Titans (递推)

题意：有三个兵种R,G,C，选取N个排成一列，要求G至少有M个连续的，R至多有K个连续的，问有多少种排列方式。

此题与UVa 10328 - Coin Toss非常相似，都是问某个字符连续出现的种数。题中问至少连续的排列个数可以转化为至多连续来计算，但是难点在于这次需要算两个连续的兵种，而且有三个兵种。

试着从那个题的角度考虑，最终的答案可以是这样：N个士兵中，G至多连续N个、R至多连续K个的排列个数 减去 G至多连续M-1个、R至多连续K个的排列个数。

我们要考虑计算的时候G与R是否相互影响，这样需要分开表示。

设dp[i][j]表示前i个士兵，当第i个士兵是第j种兵（假设R：0，G：1，C：2）时，G至多连续u个、R至多连续v个的排列个数。

对于不作要求的C士兵，它可以由第i-1阶段的三种士兵任意转移：dp[i][2]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][2]。

对于G种兵，当i<=u时，无论怎么转移都不会出现非法状态：dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][2]。

当i==u+1，这个时候非法状态是从第1个位置到第u个位置全都是G，只有这一种情况，dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][2]-1。

当i>u+1,此时非法状态是从第i-u个位置到第u个位置全都是G，这种状态可以第i-u-1个位置是R和C的状态转移而来，dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][2]-dp[i-u-1][1]-dp[i-u-1][2]。

对于R种兵，与G种兵类似，当i<=v时，无论怎么转移都不会出现非法状态：dp[i][1]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][2]。

当i==v+1，这个时候非法状态是从第1个位置到第v个位置全都是R，只有这一种情况，dp[i][1]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][2]-1。

当i>v+1,此时非法状态是从第i-u个位置到第v个位置全都是R，这种状态可以第i-v-1个位置是G和C的状态转移而来，dp[i][1]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][2]-dp[i-v-1][0]-dp[i-v-1][2]。

初始化，dp[0][0]=1,dp[0][1]=dp[0][2]=0;

这样，我们令u分别等于N和m-1，v等于k，进行两次递推，得到的结果相减即是答案。

注意减法可能出现负数，取模的时候要特别处理一下。

 #include<iostream>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #define MOD 1000000007
 #define ll long long
 using namespace std;
 ll dp[][];
 int main()
 {
     int n,m,k;
     while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)!=EOF)
     {
         dp[][]=;
         ; i<=n; ++i)
         {
             dp[i][]=dp[i][]=dp[i][]=;
             ; j<; ++j)
             {
                 dp[i][]+=dp[i-][j];
                 dp[i][]%=MOD;
                 dp[i][]+=dp[i-][j];
                 dp[i][]%=MOD;
                 dp[i][]+=dp[i-][j];
                 dp[i][]%=MOD;
             }
             ) dp[i][]=(dp[i][]-)%MOD;
             ]=(dp[i][]-dp[i-k-][]-dp[i-k-][]+*MOD)%MOD;
         }
         ll sum=(dp[n][]+dp[n][]+dp[n][])%MOD;
         m--;
         ; i<=n; ++i)
         {
             dp[i][]=dp[i][]=dp[i][]=;
             ; j<; ++j)
             {
                 dp[i][]+=dp[i-][j];
                 dp[i][]%=MOD;
                 dp[i][]+=dp[i-][j];
                 dp[i][]%=MOD;
                 dp[i][]+=dp[i-][j];
                 dp[i][]%=MOD;
             }
             ) dp[i][]=(dp[i][]-)%MOD;
             ]=(dp[i][]-dp[i-k-][]-dp[i-k-][]+*MOD)%MOD;
             ) dp[i][]=(dp[i][]-)%MOD;
             ]=(dp[i][]-dp[i-m-][]-dp[i-m-][]+*MOD)%MOD;
         }
         ll res=(dp[n][]+dp[n][]+dp[n][])%MOD;
         printf("%lld\n",((sum-res)%MOD+MOD)%MOD);
     }
     ;
 }

考虑一下这个题与UVa 10328 - Coin Toss的异同。

在表示状态的时候，本题更加细致。在上个题中，减去非法状态时，需要得到某个以F为最后位置的状态，这个状态可以由上个阶段（不需考虑F或H）直接*2转移而来。

本题中，减去非法状态需要得到某个以非G为最后位置的状态，不同于上个题中除了H就是F，这个题有三种兵，虽然以C为尾容易转移得到，但以R为尾的却不能直接从上阶段转移过来。所以在状态中直接保存。