HDU-4089 Activation （概率DP求概率）

题目大意：一款新游戏注册账号时，有n个用户在排队。每处理一个用户的信息时，可能会出现下面四种情况：

1.处理失败，重新处理，处理信息仍然在队头，发生的概率为p1；

2.处理错误，处理信息到队尾重新排队，发生的概率为p2；

3.处理成功，队头信息处理成功，出队，发生的概率为p3；

4.服务器故障，队伍中所有信息丢失，发生的概率为p4；

小明现在在队伍中的第m个位置，问当他前面的信息条数不超过k-1时服务器故障的概率。

题目分析：这道题的状态转移方程不难写。定义状态dp(i,j)表示在有 i 个人的队伍中，他排在第 j 个位置时到达要求状态的概率。则状态转移方程为：

dp(i,1)=p1*dp(i,1)+p2*dp(i,i)+p4

dp(i,j)=p1*dp(i,j)+p2*(i,j-1)+p3*dp(i-1,j-1)+p4　　(2<=j<=k)

dp(i,j)=p1*dp(i,j)+p2*(i,j-1)+p3*dp(i-1,j-1)　　(k<j<=i)

整理一下，并另p21=p2/(1-p1)，p31=p3/(1-p1)，p41=p4/(1-p1)，则得到：

dp(i,1)=p21*dp(i,i)+p41

dp(i,j)=p21*dp(i,j-1)+p31*dp(i-1,j-1)+p41　　(2<=j<=k)

dp(i,j)=p21*dp(i,j-1)+p31*dp(i-1,j-1)　　(k<j<=i)

这样就可以通过递推求解。

为了书写方便，把上面的三个转移方程用两个方程表示出来：

dp(i,1)=p21*dp(i,i)+c(1)

dp(i,j)=p21*dp(i,j-1)+c(j)  (2<=j<=i)

dp(i,i)可以通过迭代得到：

(1-p21^i)dp(i,i)=∑(p21^(i-j))*c(j)　　(1<=j<=i)

ps：得加特判，否则会WA！！。。。

代码如下：

# include<iostream>
# include<cstdio>
# include<cmath>
# include<cstring>
# include<algorithm>
using namespace std;

const double eps=1e-5;

int n,m,k;
double p1,p2,p3,p4;
double dp[2005][2005];

int main()
{
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k))
    {
        scanf("%lf%lf%lf%lf",&p1,&p2,&p3,&p4);
        if(p4<eps){
            printf("0.00000\n");
            continue;
        }
        double p21=p2/(1-p1);
        double p31=p3/(1-p1);
        double p41=p4/(1-p1);
        dp[1][1]=p41/(1-p21);
        for(int i=2;i<=n;++i){
            dp[i][i]=0;
            for(int j=1;j<=i;++j){
                if(j==1) dp[i][i]+=pow(p21,i-j)*p41;
                else if(j>=2&&j<=k) dp[i][i]+=pow(p21,i-j)*(p31*(dp[i-1][j-1])+p41);
                else dp[i][i]+=pow(p21,i-j)*p31*dp[i-1][j-1];
            }
            dp[i][i]/=(1-pow(p21,i));
            for(int j=1;j<i;++j){
                if(j==1) dp[i][j]=p21*dp[i][i]+p41;
                else if(j>=2&&j<=k) dp[i][j]=p21*dp[i][j-1]+p31*dp[i-1][j-1]+p41;
                else dp[i][j]=p21*dp[i][j-1]+p31*dp[i-1][j-1];
            }
        }
        printf("%.5lf\n",dp[n][m]);
    }
    return 0;
}