HDU 5647 DZY Loves Connecting 树形dp

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5647

题解：

令dp[u][0]表示u所在的子树中所有的包含i的集合数,设u的儿子为vi，则易知dp[u][0]=(dp[v1][0]+1)*...*(dp[vk][0]+1)。

令dp[u][1]表示u所在的子树中所有的包含i的集合数的大小的和，则有dp[u][1]=dp[u][1]*(dp[v][0]+1)+dp[v][1]*dp[u][0]；

其中dp[u][1]*(dp[v][0]+1)表示新引入v的（dp[v][0]+1）个组合的时候，左边已知的贡献值（dp[u][1]，即已知的包含节点i的集合数的大小的和）增倍之后的量。

dp[v][1]*dp[u][0]则与上面刚好反过来，考虑对于已知的dp[u][0]种集合数，儿子v的贡献值增倍后的量。

则最后的答案为dp[1][1]+...+dp[n][1]

ps: 如果还不明白dp[u][0],dp[u][1]表示的含义，可以用代码跑一下简单的样例，把它们都打印出来，应该会好理解一些。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;

 const int maxn = 2e5 + ;
 const int mod = 1e9 + ;
 typedef long long LL;

 struct Edge {
     int v, ne;
     Edge(int v, int ne) :v(v), ne(ne) {}
     Edge() {}
 }egs[maxn];

 int head[maxn], tot;
 int n;

 void addEdge(int u, int v) {
     egs[tot] = Edge(v, head[u]);
     head[u] = tot++;
 }

 LL dp[maxn][];

 void solve(int u) {
     dp[u][] = dp[u][] = ;
     int p = head[u];
     while (p != -) {
         Edge& e = egs[p];
         solve(e.v);
         dp[u][] = (dp[u][] * (dp[e.v][] + ) + dp[e.v][] * dp[u][]) % mod;
         dp[u][] = dp[u][] * (dp[e.v][] + )%mod;
         p = e.ne;
     }
 }

 void init() {
     memset(head, -, sizeof(head));
     tot = ;
 }

 int main() {
     int tc;
     scanf("%d", &tc);
     while (tc--) {
         init();
         scanf("%d", &n);
         for (int i = ; i <= n; i++) {
             int v;
             scanf("%d", &v);
             addEdge(v, i);
         }
         solve();
         LL ans = ;
         for (int i = ; i <= n; i++) {
             //printf("dp[%d][1]:%d\n", i,dp[i][1]);
             ans += dp[i][];
             ans %= mod;
         }
         printf("%lld\n", ans);
     }
     return ;
 }

 /*
 1 //testcase
 3
 1
 1
 */

以下是按官方题解的思路写的代码，但是wa了，当(dp[u]+1)%mod==0的时候逆元就求不出来了。

这样写就t了，说明数据确实会出现这种情况

官方题解：

 #pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 const int maxn = 2e5 + ;
 const int mod = 1e9 + ;

 struct Edge {
     int v, ne;
     Edge(int v,int ne):v(v),ne(ne){}
     Edge(){}
 }egs[maxn*];

 int head[maxn], tot;

 void addEdge(int u, int v) {
     egs[tot] = Edge(v, head[u]);
     head[u] = tot++;
 }

 void gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y) {
     if (!b) { d = a; x = ; y = ; }
     else { gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a / b); }
 //    x = (x%mod + mod) % mod;
 //    y = (y%mod + mod) % mod;
 }

 LL invMod(LL a, LL b) {
     LL d, x, y;
     gcd(a, b, d, x, y);
     return (x%mod+mod)%mod;
 }

 int n;
 LL dp[maxn];
 int fa[maxn];
 //自底向上
 void dfs1(int u) {
     dp[u] = ;
     int p = head[u];
     while (p != -) {
         Edge& e = egs[p];
         dfs1(e.v);
         dp[u] *= (dp[e.v] + ); dp[u] %= mod;
         p = e.ne;
     }
 }
 //自顶向下
 void dfs2(int u) {
     if (fa[u]) {
         LL tmp = dp[fa[u]] * invMod(dp[u] + , (LL)mod) % mod;
         dp[u] = dp[u] * (tmp + ) % mod;
     }
     int p = head[u];
     while(p != -) {
         Edge& e = egs[p];
         dfs2(e.v);
         p = e.ne;
     }
 }

 void init() {
     fa[] = ;
     memset(dp, , sizeof(dp));
     memset(head, -, sizeof(head));
     tot = ;
 }

 int main() {
 //    freopen("data_in.txt", "r", stdin);
     int tc;
     scanf("%d", &tc);
     while (tc--) {
         scanf("%d", &n);
         init();
         for (int i = ; i <= n; i++) {
             int x;
             scanf("%d", &x);
             addEdge(x, i);
             fa[i] = x;
         }
         dfs1();
         dfs2();
         LL ans = ;
         for (int i = ; i <= n; i++) {
             ans += dp[i]; ans %= mod;
         }
         printf("%lld\n", ans);
     }
     return ;
 }
 /*
 */

但是！这种情况比较特殊，是可以单独处理一下的，对于节点u，如果在第一次dfs中它的儿子中有(dp[v]+1)%mod==0,那么说明在第一次dfs中dp[u]=0，也就是说dp[u]+1==1，u对它的父亲是没有贡献的！，那么在第二次dfs中，dp[u]实际保存的数就是整颗树中不包含u这颗子树的所有节点中包含u的父亲的集合的个数，所以只要算(dp[u]+1)*spec（spec表示v所有的兄弟的（dp[vi]+1)的乘积，不包含v本身），就可以了,具体看代码。

 #pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 const int maxn = 2e5 + ;
 const int mod = 1e9 + ;

 struct Edge {
     int v, ne;
     Edge(int v,int ne):v(v),ne(ne){}
     Edge(){}
 }egs[maxn*];

 int head[maxn], tot;

 void addEdge(int u, int v) {
     egs[tot] = Edge(v, head[u]);
     head[u] = tot++;
 }

 void gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y) {
     if (!b) { d = a; x = ; y = ; }
     else { gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a / b); }
 }
 LL invMod(LL a, LL b) {
     LL d, x, y;
     gcd(a, b, d, x, y);
     return (x%mod+mod)%mod;
 }

 int n;
 LL dp[maxn];
 int fa[maxn];

 void dfs1(int u) {
     dp[u] = ;
     int p = head[u];
     while (p != -) {
         Edge& e = egs[p];
         dfs1(e.v);
         dp[u] *= (dp[e.v] + ); dp[u] %= mod;
         p = e.ne;
     }
 }

 void dfs2(int u,LL spec) {
     if (fa[u]) {
         LL tmp;
         if((dp[u]+)%mod)
             tmp=dp[fa[u]] * invMod(dp[u] + , mod) % mod;
         else {
             tmp = (dp[fa[u]]+) * spec % mod;
         }
         dp[u] = dp[u] * (tmp + ) % mod;
     }
     int p = head[u]; spec = ;
     int po = -,flag=;
     while(p != -) {
         Edge& e = egs[p];
         if ((dp[e.v] + ) % mod == ) {
             if(po==-) po = e.v;
             else {
                 flag = ;
                 dfs2(e.v, );
             }
         }
         else {
             spec *= (dp[e.v] + ); spec %= mod;
             dfs2(e.v, spec);
         }
         p = e.ne;
     }
     if (po!=-) {
         if (!flag) dfs2(po, spec);
         else dfs2(po, );
     }
 }

 void init() {
     fa[] = ;
     memset(dp, , sizeof(dp));
     memset(head, -, sizeof(head));
     tot = ;
 }

 int main() {
     //freopen("data_in.txt", "r", stdin);
     int tc;
     scanf("%d", &tc);
     while (tc--) {
         scanf("%d", &n);
         init();
         for (int i = ; i <= n; i++) {
             int x;
             scanf("%d", &x);
             addEdge(x, i);
             fa[i] = x;
         }
         dfs1();
         dfs2(,);
         LL ans = ;
         for (int i = ; i <= n; i++) {
             ans += dp[i]; ans %= mod;
         }
         printf("%lld\n", ans);
     }
     return ;
 }
 /*

 */