清北学堂—2020.1提高储备营—Day 3（图论初步（二））

qbxt Day 3

——2020.1.19 济南主讲：李奥

目录一览

1.图论（kruskal算法，最短路径算法，拓扑排序）

总知识点：图论

一、kruskal算法
1.目的：求图的最小生成树
2.算法描述：
先将所有的边按照权值从小到大排序，相同权值的边顺序随意。
然后按顺序依次考虑将这些边加入最小生成树中：
若加入这条边后，当前已加入的边出现环，则不加入这条边。
若加入这条边后，当前已加入的边不出现环，则加入这条边。
3.代码实现：

qsort(a+1,m,sizeof(edge),cmp); //对边进行排序
for(i=1;i<=n;i++) belong[i]=i;
for(i=1;i<=m;i++){
    if(belong[a[i].x]!=belong[a[i].y]){
        ans+=a[i].k;
        for(j=1;j<=n;j++){
            if(belong[j]==belong[a[i].x])
                            belong[j]=belong[a[i].y];
            }
        }
}

二、最短路径
1.最短路径指所经过的边的权值最小的路径。（以下讨论主要针对有向图。）
2.算法：
（1)SPFA算法
解决问题：单元最短路

注：边权可以为负但不能有负环

最短路径的前缀也一定是最短路径

SPFA算法需要借助队列，一般使用STL中的队列。
注：STL的queue使用方法：
z.push(）在队列尾加入一个元素

z.pop() 弹出队列的队头

z.front() 取队头

z.empty() 判断队列非空
算法时间复杂度上限：O（N^N)（上限是相当慢的）
算法结构:
先固定一个起始节点s（d[i]表示起始节点s节点到节点i的目前已知的最短距离）。
最开始所有d[i]为inf,d[s]=0;（即什么都不知道）
有一个等待更新别人的d值的队列z
最开始只有s有资格更新别人，所以z.push(z)
每次取出队列里的第一个节点，用他的d值更新与他相邻的节点的d值，被更新的节点又有资格更新别人，因此也加入队列。

代码实现：

z.push(s);
v[s]=1;
while(!z.empty()){
     x=z.front();
     z.pop();
     v[x]=0;
     for(k=first[x];k;k=a[k].next){
         y=a[k].y;
         if(d[x]+a[k].k<d[y]){
             d[y]=d[x]+a[k].k;
             if(!v[y]){
        z.push(y);
        v[y]=1;
         }
         }
     }
}

（2）Floyd算法
解决问题：所有节点之间的最短路

时间复杂度：O(n^3)

思想：
Dp ：f[k][i][j]表示从i到达j，中途经过的节点的编号必须小于等于k的情况的最短路。

初始化f[0][i][j]即为邻接矩阵。

代码：

for(k=1;k<=n;k++)
  for(i=1;i<=n;i++)
     for(j=1;j<=n;j++)
         f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]);
//采用滚动数组：
for(k=1;k<=n;k++)
  for(i=1;i<=n;i++)
     for(j=1;j<=n;j++)
         f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);

三、拓扑排序：
拓扑图：有向无环图

拓扑排序：
对于拓扑图的点进行排序，使得若有一条边x->y，则x一定排在y前面。
找到第一个节点之后，将这个节点从图中删除，重复直到原图的点全部被删除。
代码实现：

for(i=1;i<=n;i++){
    if(d[i]==0)z.push(i);
}
while(!z.empty()){
    x=z.front();
    z.pop();
    A[++len]=x;
    for(k=first[x];k;k=a[k].next){
        y=a[k].y;
        d[y]--;
        if(d[y]==0) z.push(y);
    }
}

-------------------------------------------------------THE END------------------------------------------------