XJOI夏令营501训练1——分配工作

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题意：某公司有工作人员x1,x2,…,xn ，他们去做工作y1,y2,…,ym（n<=m） ，每个人都能做其中的几项工作，并且对每一项工作都有一个固定的效率。问能否找到一种合适的工作分配方案，使得总的效率最高。要求一个人只能参与一项工作，同时一项工作也必须由一个人独立完成。不要求所有的人都有工作。

思路：首先让我们明确二分图匹配算法和网络流的区别：二分图KM算法是网络流最小费用最大流中的特例，即KM算法必须满足每一个x点都被匹配才能运行，但两个算法的前提都是在最大匹配的情况下最优，而这道题显然没有要求要最大匹配，所以这两种算法均被否定……（本来想过用最大流做，但发现最大流无法限制x节点只能连一条边）

所以我们要改进KM算法，我们现在要做的是令所有连边都满足最大匹配的前提，这样效率高低就会成为判断方案优劣的唯一因素。（这种控制无关因素的思路值得借鉴）

我们现在把每个人干不了的工作都连上0的边，表示这个人干他干他干不了的工作效率为0，这样每个人和每个工作就都有了边，因为m>=n，所以每个人都可以搜到，再跑一遍KM求答案即可。

（其实这种思路来改进最小费用最大流也可以，但很麻烦，因为网络流中残量网络为0时跑不了）

上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=;
const int M=;
const int inf=(int)2e9;

int E[][];
int match[],lx[],ly[],visx[],visy[],slack[],n,m;

bool dfs(int u)
{
    visx[u]=;
    for(int v=;v<=m;v++)
    {
        if(visy[v]) continue;
        if(lx[u]+ly[v]==E[u][v])
        {
            visy[v]=;
            if(match[v]==-||dfs(match[v]))
            {
                match[v]=u;
                return ;
            }
        }
        else
        {
            slack[v]=min(slack[v],lx[u]+ly[v]-E[u][v]);
        }
    }
    return ;
}

void EK()
{
    memset(visx,,sizeof(visx));
    memset(visy,,sizeof(visy));
    for(int x=;x<=n;x++)
    {
        for(int i=;i<=m;i++) slack[i]=inf;
        while(true)
        {
            memset(visx,,sizeof(visx));
            memset(visy,,sizeof(visy));
            if(dfs(x)) break;
            int Delta=inf;
            for(int i=;i<=m;i++) if(!visy[i]) Delta=min(Delta,slack[i]);
            for(int i=;i<=n;i++) if(visx[i]) lx[i]-=Delta;
            for(int i=;i<=m;i++) if(visy[i]) ly[i]+=Delta;
                        else slack[i]-=Delta;
        }
    }
}

int main()
{
    memset(E,,sizeof(E));
    memset(ly,,sizeof(ly));
    memset(match,-,sizeof(match)); int k;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=;i<=k;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        E[x][y]=max(E[x][y],z);
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        lx[i]=;
        for(int j=;j<=m;j++) lx[i]=max(lx[i],E[i][j]);
    }
    EK();
    int ans=;
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        if(match[i]!=-) ans+=E[match[i]][i];
    }
    cout<<ans<<endl;
    return ;
}