如何在不能求逆的时候做子集卷积 exp（即便能求逆也比常见方法优雅）

为什么要求逆？正常做子集卷积 exp 的时候递推求 \(G=\exp(F)\) 的系数时要用。

什么情况下不能求逆？模 \(2^{64}\)，或者压根不取模。

我们可能会想，算出来肯定除得尽啊，因为组合意义上是不会出现分数的。

并非如此，例如我们可能会尝试算 \(\exp(x)\cdot \exp(2x)\) 的 \([x^3]\) 处的系数乘上 \(3!\) 的结果，乘回来的结果肯定是整数，但运算过程中并不是。

考虑怎么绕开求逆。

对于喜欢组合意义的人：

假设我们对集合幂级数 \(F\) 做子集卷积 exp。

考虑第 \(n\) 个元素选或不选。如果不选，那么我们递归求出只考虑前 \(n-1\) 个元素的子集卷积 exp 的结果，记做 \(G_0\)。

如果选，那么考虑最终选出包含 \(n\) 的集合是哪个，设其为 \(S\)，那么我们就是从 \(F\) 中选出一个包含 \(n\) 这个元素的集合 \(S\)，再从 \(G_0\) 中选出一个集合 \(T\)，贡献到 \(S\cup T\)。

这就是一个简单的子集卷积，可以 \(O(2^nn^2)\) 完成。

而总时间复杂度由递推式 \(T(n)=T(n-1)+O(2^nn^2)\) 计算，可以得到就是 \(O(2^nn^2)\) 的，和原来的复杂度一样，但是好写得多，因为不需要预处理逆元以及推一遍 n^2 求 exp 的式子。

对于喜欢代数推导的人：

原 CF Blog

把集合幂级数视为一个 \(n\) 元截断多项式 \(R(x_1,x_2,\dots,x_n)/(x_1^2,x_2^2,\dots,x_n^2)\)。

那么 \(G=\exp(F)\)，\([x_n^0]G=\exp([x_n^0]F)\)，\([x_n^1]G=[x_n^0]G[x_n^1]\exp(F)=[x_n^0]G[x_n^1]F\)。

所以我们只用递归求解 \([x_n^0]G\)，就可以通过一次子集卷积求出 \([x_n^1]G\)，两者拼接得到 \(G\)。

总时间复杂度由递推式 \(T(n)=T(n-1)+O(2^nn^2)\) 计算，可以得到就是 \(O(2^nn^2)\) 的，和原来的复杂度一样，但是好写得多，因为不需要预处理逆元以及推一遍 n^2 求 exp 的式子。

代码实现

这里是两种代码实现测速的地址

不用 vector 的话，简单来说，就一行：

G[0]=1; For(i,0,n-1) Conv(G,F+(1<<i),G+(1<<i),i);

其中 Conv(a,b,c,k) 表示对数组 a 和数组 b 做长为 k 的子集卷积，把结果放到 c 处。